47.Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

Определение 1. График дифференциальной функции y=f(x) наз. выпуклым в интервале (а,в), если он расположен ниже любой её касательной на этом интервале. График дифференциальной функции y=f(x) наз. вогнутым в интервале (а,в), если он расположен выше ниже любой её касательной на этом интервале.

Определение 2. Точка (Х₀, f(X₀), Х₀ D(y) графика непрерывной ф-ции y=f(x), отделяя её выпуклую(вогнутую) часть от вогнутой(выпуклой) наз. её точкой перегиба.

48. Асимптоты графика функции.

Определение. Прямая L наз. асимптотой кривой y=f(x), если расстояние от точки M(x,y) кривой до прямой L стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от точки O(0;0) (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к ).

Асимптоты бывают вертикальные и невертикальные (наклонные и горизонтальные).

Утверждение 1. Прямая x=a явл. вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если

или

Т.е. для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения x, вблизи которых функция f(x) неограниченно возрастает по модулю.

Замечание 1. Если

D(y)={(-;+) или [a;b] или (-;b] или [a;+)}, то вертикальных асимптот нет.

Замечание 2. Если

D(y)=(-;x₁)(x₁;x₂)…(x_n;+), то вертикальные асимптоты могут быть только прямые.

x=x_i, i=1,…,n

(если ).

Замечание 3. Если D(y)=(a;+), то вертикальная асимптотой может быть только прямая x=a (если

Замечание 4. Если D(y)=(-;b), то вертикальной асимптотой может быть только прямая x=b (если

Утверждение 2. Если

и

то y=kx+b – невертикальная асимптота. Причем k0 – наклонная, а при k=0 – горизонтальная асимптота.

49. Общая схема исследования функции и построения графика.

Схема полного исследования функции:

1) найти область определения функции;

2) найти (если это возможно) точки пересечения графика функции с осями координат;

3) выяснить, является ли функция чётной, нечётной или общего вида;

4) установить промежутки непрерывности функции, а также найти её точки разрыва;

5) найти вертикальные и невертикальные асимптоты (если они имеются);

6) найти интервалы монотонности и точки экстремума;

7) найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба;

8) найти пределы функции при x, стремящемся к концам области определения;

9) построить график функции.

50.Первообразная функции. Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица основных неопределённых интегралов.

Определение1. Функция F(x) наз. первообразной функции f(x), заданной на некотором множестве Х, если для любого х Х выполняется равенство: F'(x)=f(x).

Определение2. Множество F(x) + C всех первообразной функции f(x) на множестве Х наз. неопределённым интегралом и обозначается:

Нахождение первообразной для данной функции f(x) наз. интегрированием функции f(x).

Теорема. Для всякой непрерывной на интервале (а,в) функции f(x) существует на этом промежутке первообразная, а значит и неопределённый интеграл.

Геометрический неопределённый интеграл представляет собой семейство кривых, зависимых от одного параметра С, который получает одна из другой путём параллельного сдвига вдоль оси Оу.

Свойства:

1)(

2)

3)

4)

5)Если

6)Если

Таблица основных неопределённых интегралов:

1. x + C	6. x dx = ax / ln a +C	11.
2.	7.	12.
3. = + C	8.	13.
4. = ln	9.	14.
5. x dx = ex +C	10.	15.