Билет 1.Логические символы в математике. (Базис) В м. , для обозначения различных операций используется аппарат символов, разработанный м. логике. Есть 2 базисных вида высказываний. «Объект х есть эл-т совокупности А опред-ых объектов» Символ принадлежности «ϵ» «Совокупности A и В некоторых объектов совпадают» Символ равенства «=» Простые высказывания обозначаются латинскими буквами: (A,B,C) Высказывания объединяются с помощью логических связок и кванторов. При этом, для формирования последовательности действий используют скобки.

Билет 2. Логические символы в математике. (Пропозиционные связки) Пропозиционные связки – это операции в мат. лог. схожие с операциями «и», «или», «если, то», «тогда, когда», «тогда, и только тогда, когда» и т.д. + отрицание. Конъюнкция (логическое умножение) – «и». Истинно когда оба высказывания истинны. Ложно, когда оба высказывания ложны. Значки: «&», “*”, “ᴧ”. Дизъюнкция – «или». Соединительно-разделительная «истинно или А, или В, или оба высказывания». Исключающая «или А, или В, но не А и В вместе». Значки: «V».

Билет 3.логические символы в математике (пропозиционные связки – импликация, необходимость, достаточность, эквивалентность, отрицание). Импликация – это логическая операция, связывающая два высказывания союзом сходным с союзом «если, то». Значки: «->», «<-», «=>», «<=». Если истинно высказывание А, то истинно и высказывание В. Истинность импликации зависит только от истинности или ложности высказывания А, независимо от связи между А и В по смыслу. А=>В. Если в высказывании А следует В оба ложны, то сама импликация является истинной. В математике часто символы импликации используются в случае необходимости и как символы достаточности. Запись «А=>В» обозначает: «чтобы высказывание А было истинным необходимо, чтобы истинным было высказывание В».

Билет 4. Логические символы в математике (кванторы, скобки).

Квантор – логические операторы, характеризующие область истинности высказывания, в частности, утверждения 2-х видов: общности и существования. Квантор общности - - используется для высказываний вида хР(х).

«Любой или каждый элемент х обладает свойством Р».

Квантор существования - - используется для построения утверждений вида хР(х).

«Существует (найдется) такой элемент х, который обладает свойством Р».

!хР(х)

«Существует (и при том единственный) элемент х, обладающий свойством Р».

Отрицание кванторов

┐ хР(х) <=> х ┐Р(х).

«То что утверждение, что любой элемент х обладает свойством Р, является ложным эквивалентно тому, что найдется такой элемент х, который не обладает свойством Р».

┐ хР(х) <=> х ┐Р(х)

«То, что утверждение о том, что найдется такой элемент х, который обладает свойством Р, является ложным эквивалентно тому, что любой элемент х не обладает свойством Р».

Скобки – вспомогательные символы, используемые при построении сложных высказываний или сложных логических формулировок и обеспечивающие возможность однозначного определения их структуры и порядка следования исходных высказываний.

В математической логике устанавливается следующий порядок приоритетов в символах: символ ┐ и кванторы общности и существования связывают высказывание сильнее, чем символ конъюнкции &, который в свою очередь, сильнее символов дизъюнкции V и , а эти символы сильнее символов импликации =>,<=, которая сильнее символа эквивалентности <=>.

Билет 5. Логические символы в математике (таблицы истинности).

Истинность или ложность – основные свойства любого высказывания. То есть каждое высказывание может быть либо ложным, либо истинным.

Для решения вопроса об истинности или ложности сложного высказывания строится таблица истинности.

А	В	A&B	A V B	A B	А=>В	А<=>В	┐ А	┐ В
1	1	1	1	0	1	1	0	0
1	0	0	1	1	0	0	0	1
0	1	0	1	1	1	0	1	0
0	0	0	0	0	1	1	1	1

Билет 6. Понятие множества

Теория множеств – раздел математики, изучающий общие свойства совокупности некоторых объектов.

Понятие множества – простейшее первоначальное понятие математики. Это понятие не определяется.

Некоторая совокупность объектов, имеющая 1 или несколько общих признаков и рассматриваемая как единое целое, называется классом, а составляющие его элементы (объекты) называются элементами класса.

Для того, чтобы класс был множеством, необходимо выполнение следующих условий.

1. элементы класса должны быть четко выделены.

2. свойства объектов, определяющих их принадлежность данному классу, должны быть четко сформулированы.

3. о каждом объекте можно определенно сказать, принадлежит он данному классу или не принадлежит.

Универсум – класс, в который должны входить все объекты, являющиеся элементами определяемого множества.

Билет 7 экстенсиональный и интенсиональный способы задания множества

Существует 2 способа задания конкретного множества:

Экстенсиональный способ состоит в том, что перечисляются все элементы этого множества.

М={а, b, c…} Интенсиональный способ – состоит в том, что задается универсум (U) и формируется характеристическое свойство Р элементов а этого множества, то есть такое свойство, которым обладают все элементы данного множества и которым не обладает ни один из элементов универсума, не являющийся элементом данного множества.

М={а є U|P(a)}

Билет 8. равенство множеств, подмножества, пустое множество, основные числовые множества.

Множества М и М2 называются равными или совпадающими, если каждый элемент а М является элементом множества М2 и наоборот.

Множество М1 называется подмножеством множества М, если каждый элемент множества М1 является и элементом множества М. полагается, что пустое множество ø является подмножеством любого множества.

Используются символы включения: , , , .

М1М Множество М1 – это подмножество множества М, причем М1≠М;

М1М Множество М1 – подмножество множества М, причем М и М1 могут совпадать.

ММ1 (М1≠М) Множество М включает в себя подмножество М1≠М

ММ1. Множество М включает в себя подмножество М1, которое может совпадать с М

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством.

Пустое множество обозначается знаком: ø

Пустое множество ø и само множество М называются несобственными подмножествами множества М, а остальные подмножества множества М называются собственными.

Для иллюстрации свойств множества используются диаграммы Эйлера-Венна. На этих диаграммах универсум изображается в виде точечного множества на плоскости, имеющего вид прямоугольника, а остальные множества изображаются точечными множествами внутри этого прямоугольника.

В математике рассматриваются следующие основные числовые множества

N – множество натуральных чисел

Z – множество целых чисел

Q – множество рациональных чисел

R – множество действительных (вещественных) чисел

C – множество комплексных чисел