1.Матрицы и их виды.

Матрица размером m * n –совокупность m * n чисел расположенных в виде таблицы. Из m-строк и n-столбцов.

- Матрица, все элементы, которой равны нулю наз. нулевой.

- Матрица, у которой число строк равно числу столбцов наз. квадратной.

- Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элемента главной диагонали равны нулю, наз. диагональной.

Диагональная матрица у которой каждый элемент =1, наз. единичной.

2.Сложение матриц и умножение на действительное число.

- сложение матриц: суммой (разностью) матрицы A_m*n,=(a_ij) и B_m*n=(b_ij) наз. такая матрица С_m*n, что c_ij=a_ijb_ij

- умножение: произведение A_m*n =(a_ij) на k, наз. Число b B_m*n = (b_ij), b_ij=k*a_ij .

3.Согласованные матрицы. Умножение матриц и его свойства.

Операции сложения матриц и умножения на число .Свойства.

А+ В = В + А

(А+В) + С= А(В+С)

А+0 = А

А-А = 0

Α * (А+В) = α*В + α*А

1*А = А

(α+β)*А = α*А + β*В

α(β*А) = (α*β)*А

4.Элементарные преобразования матриц. Эквивалентные матрицы.

Элементарными преобразованиями матриц, явл.:

1)перестановка двух параллельных рядов матрицы

2)умножение всех элементов, любого ряда матрицы на отличное от нуля число

3)прибавление ко всем элементам ряда матриц соответствующих элемент. параллельного ряда и умноженное на одно и тоже число.

Две матрицы называются эквивалентными, если 1 из них получается из другой с помощью элементарных преобразований и обозначается А˜ В.

5. Определители 2-го порядка.

n=2, A_2x2= , det A= =a₁₁ a_{22 –} a_12 a₂₁

6. Определители 3-го порядка.

n=3, A= ,

det A= =a₁₁ a₂₂ a₃₃+a₂₁ a₃₂ a₁₃+a₁₂ a₂₃ a₃₁- a₁₃ a₂₂ a₃₁- a₂₁ a₁₂ a₃₃- a₃₂ a₂₃ a₁₁

7. Миноры и алгебраические дополнение элемента определителя.

Минором элемента a_ij определителя порядка n называется определитель n-1-го порядка, полученный из исходного вычеркивания i-ой строки j-го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента a_ij с определителем ∆ наз. Соответствующие минором взятом i+j-числа, «+» если i+j-четна, «-» если i+j-нечетна.

8.Свойства определителей.

Свойства:

1)Определитель не изменится, если его строки заменить соответствующими столбцами и наоборот.

2)Если поменять местами два параллельных ряда определителя, то определитель изменит знак.

3)Определитель с двумя одинаковыми параллельными рядами равен 0.

4)Общий множитель, какого – либо ряда можно вынести за знак определителя.

5)Определитель, у которого элементы двух рядов соответственно пропорционален, то он =0.

6)Если все элементы какого-либо ряда определителя равны 0, то и сам определитель равен 0.

7)Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответственно элементы другого параллельного ряда, умножить на одно и то же число.

8)Определитель равен сумме произведения элементов любого ряда на их алгебраическое дополнение.

9.Невырожденная матрица. Союзная матрица. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы.

Квадратная матрица А наз. не выраженной, если det A0. В противном случае (det A=0) – выражденной.

Союзной матрицей А наз. матрица А*

Матрица А^-1 наз. обратной к матрице А, если выполняются следующие действия:

А×А^{-1 =} А^-1×А = Е, где Е – единичная матрица, того же размера, что и А.

Теорема. Для данной матрицы А, существует единственная обратная матрица А^-1 detA≠0.

Формула для нахождения обратной матрицы: