19.Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения и его вычисление в ортонормированном базисе

Скалярным произведение двух векторов наз. число, равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними: ā*в=/ā/*/в/*cos(ā,^в).

Свойства скалярного умножения:

1)скалярное умножение коммуникативное: ā*в=в*ā

2)для любого вектора скалярный квадрат = квадрату модуля: ā*ā=ā²=/ā/²

3)скалярное произведение = 0, если сомножители ортогональны или хотя бы один = 0: ā*в=0ā┴в или ā = 0 или в = 0

4)скалярное умножение обладает свойством ассоциативности относительно скалярного множителя: (λā)в=ā(λв)=λ(āв)

5)скалярное умножение дистрибутивно относительно сложения: ā(в+с)=āв+āс

20.Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения и его вычисление в ортонормированном базисе.

Векторным произведение векторов ā и в наз. вектор, обозначаемый с=ā×в и удовлетворяющий следующим трём условиям:

1)/ā×в/=/ā/*/в/*sin(ā,^в)

2)с┴а, с┴в

3)упорядоченная тройка ā, в, с – правая, наз. если из конца вектора с кратчайший поворот от первого вектора ā ко второму в виден против хода часовой стрелки.

Свойства:

1)от перестановки множителей, векторное произведение меняет направление на противоположное, сохраняет модуль, т.е. : ā×в=-в×ā

2)если в векторном произведении изменить знак одного из сомножителей на противоположный, то векторное произведение имеет знак, т.е. :

ā×(-в)=-ā×в

3)скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения: (λā)×в=λā×в или ā×(λв)=λā×в

4)(āв)×с=ā×с+в×с

5)Векторное произведение = 0, если хотя бы один из сомножителей = 0, либо сомножители комплонарны: ā×в=0ā=0 или в=0 или ā║в

6) ā×ā=0

x	i	j	k
I	0	k	-j
J	-k	0	I
k	j	-i	0

7)рассмотрим векторное произведение ортов: i×i=0, j×j=0, k×k=0

21.Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения и его вычисление в ортонормированном базисе.

Смешанными векторами а, в, с наз. число обозначаемое а, в, с и определяемое как скалярное произведение вектора ā×в×с : авс= (ā×в)×с.

Свойства:

1)смешанное произведение не меняется при цикле пересечения его вектора со множителем: авс=вса=сав

2)смешанное произведение меняет знак на противоположный при перестановке любых векторов множителей: авс=-вас=вса

3)смешанные произведения не меняются при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения : (ā×в)*с=ā*(в×с)

4)смешанные произведения не нулевых векторов равно 0 тогда и только тогда, когда векторы комплонарны : авс=0  авс- комплонарны.

22.Приложения смешанного произведения.

1)определение взаимной ориентации вектора в пространстве: если авс>0 => векторы а, в, с образуют правую тройку, если авс<0, то левую тройку.

2)установление комплонарности вектора. Векторы а, в, с – комплонарны  авс=0.

3)определение объёмов в пространстве предметов: а)V- парал-да, построенного на векторах а, в, с вычисляются по формуле :V=/abc/

б)V=1/6*/abc/

в)V треугольной призмы, построенный на векторах а, в, с вычисляется по формуле: V=1/2*/abc/

23.Различные виды уравнений прямой на плоскости: по точке и нормальному вектору; общее; по точке и направляющему вектору; по двум точкам; по точке и угловому коэффициенту; в отрезках.

1. по точке и нормальному вектору А(х – х₀) + В(у – у₀)=0

2. общее уравнение Ах + Ву + (- Ах₀ – Ву₀) = 0 или Ах + Ву + С =0

3. по точке и направляющему вектору М₀М║S =>М₀М=t*S х-х0/m=y-y₀/n

4. по двум точкам х-х1/х2-х1=у-у1/у2-у1

5. по точке и угловому коэффициенту y-y₀ = k(x-x₀) y=kx + b

6. в отрезках х/а+у/в=1

24.Расстояние от точки до прямой.

d= /Ax₀+By₀+C/ ²+B²

25.Различные виды уравнений плоскости в пространстве: по точке и направляющему вектору; общее; по трём точкам; в отрезках.

1) А(х-х₀)+В(у-у₀)+С(z-z₀=0(по точке и напр. вектору);

2) Ах+Ву+Cz+(-Ax₀-By₀-Cz₀)=0 или Ах+Ву+Cz+D=0 (общее уравнение);

3) (по трём точкам)

4) (уравнение плоскости в отрезках).

26.Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.

Случаи взаимного расположения плоскостей:

1) Р1 ║ Р2  А1/А2=В1/В2=С1/С2≠Д1/Д2

2) Р1 совпадает с Р2  А1/А2=В1/В2=С1/С2=Д1/Д2

3) Р1 ┴ Р2  n1*n2=0  А1А2+В1В2+С1С2=0

4) Р1 пересекает Р2 под углом γ  cos γ = n1*n2 /n1/*/n2/=A1A2+B1B2+C1C2 *

27.Различные виды уравнений прямой в пространстве: общее; по точке и направляющему вектору; по двум точкам

1)

2) = =

3)

4) = =

28.Понятие функции. Основные характеристики функции: чётная, нечётная, возрастающая, убывающая, ограниченная.

Пусть дано 2 не пустых множества Х и У. Правило f по которому каждый элемент Х Х поставлен в соответствие 1 и только 1 элементa У У, наз. функцией и записывается : у=f(x).

Основные характеристики:

1)Функция у=f(x) , определяемая на множестве D, наз. чётной, если любая Х D выполняет условия : -х D и f(-x)=f(x); не чётной , если любая Х D и f(-x)=-f(x)

2)Функция y=f(x) наз. возрастающей на интервале (а,в), если любое X1,X2 (а,в) Х1>X2, выполняется f(x1)>f(x2). Функция наз. убывающей если любое х1 и х2 (а,в) Х1>X2, выполняется условие f(x1)<f(x2).

3) Функцию y = f(x) опр. на множество D, наз. ограниченной на этом множестве, если сущ. Такое число М>0: любое х D => M

29.Основные элементарные функции и их графики.

1) Степенная ф-ция: y=x^α, α R

а) у=х

б) у=х²

в) у=х³

г) у=х^-1=1/х

д) у=х^1/2=

2) Показательная функция: у = а^х, а>0, a 1.

а) у = а^х(а>1)

б) у = а^х(0<a<1)

3) Логарифмическая функция: у=log_ax, a>0, a 1.

a) e=log_ax (a>1)

б) y = log_ax(0<a<1)

4) Тригонометрические функции

а) у = sin x

б) y = cos x

в) y = tg x

г) y = ctg x

5) Обратные тригонометрические функции

а) y = arcsin x

б) y = arccos x

в) y = arctg x

г) y = arcctg x

30. Определение предела последовательности.

Определение. Число А наз. пределом функции f(x) при xа, если при всяком положительном числе  можно указать другое положительное число , зависящее от выбора , такое, что абсолютная величина разности f(x)-А будет меньше , когда абсолютная величина разности x-a будет меньше , т.е. если числовые значения функции f(x) будут заключены в произвольной -окрестности числа А при условии, что числовые значения аргумента x взяты с достаточно малой -окрестности числа а (исключая само число а):