64. Ду высших порядков, допускающие понижение порядка.

ДУ порядка выше 1-го наз. ДУ высших порядков.

Отдельные виды ДУ высших порядков удается проинтегрировать путём понижения порядка уравнения.

1. Уравнение вида

y⁽ⁿ⁾=(x), решают путём n – кратного интегрирования.

2. Уравнение вида

F(x, y^(k), y^(k+1),…, y⁽ⁿ⁾)=0, явно не содержащее искомой функции и её первых производных до k-1 включено, сводят к уравнению порядка n-k путём введения новой неизвестной функции z=z(x), пологая z=y^(k). Тогда уравнение примет вид

F(x, z, z^’,…, z^(n-k))=0.

3. Уравнение вида

F(y, y^’, y^’’,…, y⁽ⁿ⁾)=0, явно не содержащее независимой переменной х, интегрируют с помощью подстановки y^’=p, где р=р(у) – новая неизвестная функция, а за аргумент временно примем переменную у. Тогда

,

т.е. .

Аналогично можно получит

и т. д.

При этом порядок уравнения понижается на единицу.

65. Линейные однородные ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения в зависимости от корней характеристического уравнения.

Уравнение вида

a₂y^’’+a₁y^’+a₀y=0, (*)

где a_iR, i=0, 1, 2, наз. линейным однородным (ЛОДУ) 2-го порядка с постоянным коэффициентом.

Теорема. (структура общего решения ЛОДУ 2-го порядка). Если два частных решения y₁=y₁(x) и y₂=y₂(x) ЛОДУ (*) образуют на интервале (а;b) фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения явл. функция

y=C₁y₁+C₂y₂ , (**)

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

Т. о. для нахождения общего решения ЛОДУ (*) достаточно найти два его частных решения образующих фундаментальную систему.

Будем искать частные решения уравнения (*) в виде y=e^x, где  - некоторое число (Л. Эйлер).

Дифференцируем эту функцию два раза и подставляя выражение для y, y^’, y^’’ в уравнение (*), получим:

a₂²e^x+a₁ e^x+a₀ e^x=0   e^x 0

a₂²+a₁+a₀=0, (***).

Уравнение (***) наз. характеристическим уравнением (х. у) ЛОДУ (*) (для его составления достаточно в уравнении (*) заменить y^’’, y^’, y на ², , 1 соответственно).

При решении х. у. (***) возможны следующие три случая:

1) D>0;

2) D=0;

3) D<0.

66. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду) 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения.

Уравнение вида

a₂y^’’+a₁y^’+a₀y= f(x), (*)

где a₁R, i=0, 1, 2 f(x) – непрервная на некотором интервале (а;b) функции.

Правая часть f(x)	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения
Pn(x)	1. Число 0 не явл. корнем х. у.
	2. Число 0 – корень х. у.
Pn(x)  eax	1. Число a не явл. корнем х. у.
	2. Число a – корень х. у.
Pn(x)cosx+Qm(x)sinx	1. Число  i не явл. корнем х. у.
	2. Число  i – корень х. у.
ax (Pn(x)cosx+Qk(x)sinx)	1. Число  не явл. корнем х. у.
	2. Число  – корень х. у.

Замечание 1. k=max(m, n).

Замечание 2.

и т. д.,

где A, B, C, D, … - неизвестные коэффициенты, которые находят подстановкой в уравнение (*) и приравниванием коэффициентов при одноимённых функциях в левой и правой частях равенства.