36. Геометрический смысл производной функции в точке.
Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x).
Через точки графика M(x,y) и M1(x+x, y+y) проведём секущую. Обозначим через - угол между секущей MM1 и осью Ox. На рисунке видно, что угловой коэффициент секущей равен
При x0 в силу непрерывности функции y0; поэтому точка M1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая MM1, поворачиваясь около точки М, переходит в касательную МТ. Поэтому угловой коэффициент касательной равен
,
где x – абсцисса точки.
Т. о. f’(x)=tg=k, т.е. производная f’(x) в точке х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в точке абсцисса которой равна х.
37.Уравнение касательной к графику функции у = f(x)в точке (x0, y0).
Угловой коэфф. Касательной равен : k = f ' (x0).
Уравнение касательной y – y0 = f’ (x0)(x-x0)
38.Правила дифференцирования.
Теорема1.
(u
v)’
=
u’
v’.
Теорема2. (u * v)’ = u’v + uv’
Теорема3.
(
) ‘
=
u’v
– uv’
/ v2
,
v
39. Производная сложной функции.
Пусть y=f(x) и u=u(x), тогда y=f(u(x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.
Теорема.
Если функция u=u(x)
имеет производную
в точке x,
а функция y=f(x)
имеет производную
в соответствующей точке u=u(x),
то сложная функция y=f(u(x))
имеет производную
(или y’)
в точке x,
которая находится по формуле:
.
Т. о. для нахождения производной сложной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.
Это правило остаётся в силе, если промежуточных аргументов несколько.
40.Формулы дифференцирования основных элементарных функций от промежуточного аргумента u = u(x) (таблица производных).
-
1. ( C )’ = 0
9. (cos u)’ = - sin u * u’
2. (u n)’ = n*un-1 * u’
10. (tg u)’ = 1/cos2u * u’
3. (
u)’
= 1/2
u
* u’11. (ctg u)’ = -1/sin2u * u’
4. (au)’ = au * ln a * u’
12. (arcsin u)’ = 1/
2
*
u’5. (eu)’ = eu * u’
13.(arcos u)’ = -1/ 2 * u’
6. (loga u)’ = 1/u*ln a *u’
14.(arctg u)’ = 1/1+u2 * u’
7. (ln u)’ = 1/u * u’
15. (arcctg u)’ = -1/1+u2 * u’
8. (sin u)’ = cos u * u’
41.Логарифмическое дифференцирование.
Действия:
1) прологарифмировать обе части уравнения: ln y = ln f(x)
2)продифференцировать обе части полученного равенства, где ln у есть сложная функция от х: (ln y)’ = (ln f(x))’ или 1/y*y’ = (ln f(x))’
3) определить у', умножив обе части последнего равенства на у, и заменить у его выражением через х: у’ = у (ln f(x))’ = f(x)*(ln f(x))’