16. Определение вектора. Линейные операции над векторами.

Вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определённую длину и определённое направление.

Под линейными операциями над векторами понимают:

а) произведение вектора на число;

б) сложение и вычитание векторов.

Произведением вектора на число R наз. вектор  , удовлетворяющий следующим условиям:

1) длина вектора  равна произведению модуля числа  на длину вектора : ;

2) вектор  коллинеарен вектору : направление вектора  совпадает с направление вектора , если >0, и противоположно ему, если <0.

Сложение двух векторов можно производить по правилам:

1) параллелограмма;

2) треугольника.

Правило параллелограмма. Пусть даны два произвольных вектора :

Выберем произвольную точку О и перенесём векторы так, чтобы их начало оказалось в точке О.

Правило треугольника. Пусть – два произвольных вектора. Возьмём произвольную точку О и построим вектор . От точки А отложим вектор . Вектор , соединяет начало первого вектора с концом второго наз. суммой векторов . .

Сложение трёх и более векторов можно находить по правилу замыкания ломаной. Чтобы найти сумму векторов , нужно конец вектора совместить с началом вектора , конец вектора , совместить с началом вектора и т. д. пока не дойдём до вектора . Тогда суммой будет вектор идущий из начала вектора в конец вектора .

Разностью двух векторов называется такой вектор , который нужно сложить с вектором , чтобы получить вектор , т.е.  .

Чтобы построить вектор равный нужно параллельным переносом перенести вектор к общему началу, и тогда вектор будет выходить из конца вектора в конец вектора .

В параллелограмме, построенном на векторах одна направленная диагональ является суммой векторов, а другая разностью.

17.Проекция вектора на ось.

Осью наз. всякая прямая, на которой указано направление.

Проекцией точки М на ось наз. основание перпендикуляра, опущенного из точки М на данную ось.

Углом между вектором ĀВ или равным ему вектором СВ и осью Ох наз. угол α, на который нужно повернуть кратчайшем образом полуось Ох, до совмещения её с вектором СВ.

Область изменения угла α: 0≤α≤π.

Проекцией вектора АВ на ось Ох наз. число, обозначаемое пр_Ох АВ и /АВ/*cosα, где α- это угол между вектором Ав и осью Ох, т.е. по определению:

ПР_Ох АВ = /АВ/ * cos α

Геометрическая проекция вектора АВ на ось Ох = длине отрезка СД, взятой со знаком +, если 0≤α≤π/2 и со знаком минус , если π/2<α≤π. При α=π/2 отрезок СД превращается в точку и ПР_ОХ АВ = 0.

Свойства:

1.при умножении вектора АВ на число m, его проекция на ось умножается на то же число: пр_охАВ*m = m*пр_охАВ

2.проекция суммы двух векторов на ось, равна сумме проекции, соответствующих на ту же ось: пр_ох (АВ + СД) = пр_ох АВ + пр_ох СД

18.Базис. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Декартова система координат. Направляющие косинусы. Деление отрезка в данном отношении

Базисом на плоскости наз. любых два некомпланарных вектора на этой плоскости, взятых в определённом порядке.

Теорема Если на плоскости выбран базис е₁, е₂, то любой вектор ā этой плоскости можно разложить по векторам е₁, е_{2 и} такое разложение единственное: ā = х * е₁ + у * е_2.

Базисом в пространстве наз. любые три некомпланарных вектора в этом пространстве, взятые в определённом порядке.

Теорема Если в пространстве выбран базис е₁,е₂,е_3, то любой вектор ā этой плоскости (пространства) можно разложить по векторам е₁, е₂, е₃ и такое разложение единственное: : ā = х * е₁ + у * е₂ + z * e_3.

Свойства:

1)При умножении вектора ā (x, y, z) на число λ є R, все его координаты умножаются на это число: λ* ā = (λх, λу, λz)

2)При сложении(вычитании) векторов ā = (x, y, z) и в = (х₂, у₂, z₂) складываются (вычитаются) их соответствующие координаты:

ā+-в = (х1+-х2, у1+-у2, z1+-z2)

Декартовой системой координат в пространстве наз. совокупность фиксированной точки О и базиса

Точка О наз. началом координат, а прямые, проходящие через начало координат наз.

Прямая Ох наз. осью абсцисс, прямая Оу – осью ординат, прямая Оz – осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, наз. координатными плоскостями. Вектор ОМ для произвольной точки М, наз. её радиус вектором.

Координаты радиуса вектора точки М по отношению к началу координат наз. координатой точки М в рассматриваемой системе координат.

Базис наз. ортонормированным, если базисные векторы попарно ортогональны и длина каждого из них = 1. На плоскости ортонормированный базис принято обозначать: i=(1,0), j=(0,1), в пространстве i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1).

Декартовая система координат с ортонормированным базисом наз. прямоугольной системой координат.

Деление отрезка в данном отношение:

Координаты точки М(х,у,z), лежащей на отрезке АВ и делящей этот отрезок в отношении λ, т.е.: АМ= λМВ, вычисляются по формулам деления отрезка в данном отношении: х = х1+λх2/1+λ, у = у1+λу2/1+λ, z = z1+λz2/1+λ