12.Теоретичні основи методу статистичного моделювання.

Метод СМ (чи метод Монте-Карло) -це спосіб дослідження невизн. (стох.) ек. об'єктів і процесів, коли не повністю відомими є внутр. взаємодії в цих с-мах.

Метод полягає у модельному відтворенні процесу за допом. стох. матем. моделі та обчисленні х-к цього процесу. Одне таке відтворення вип. стану функціонування модел. с-ми наз. реалізацією (чи ім. прогоном; далі - прогоном).

Після кожного прогону реєструють сукупність параметрів, що х-ть вип. подію. Метод ґрунт. на багатократних прогонах на підставі побуд. моделі з подальшим стат. опрацюванням отриманих даних з метою визнач. числ. х-к дослідж. об'єкта (процесу) у вигляді стат. оцінок його параметрів. Процес моделювання ек. с-ми зводиться до машинної імітації досліджуваного процесу, котрий моделюється на ЕОМ з усіма суттєвими невизначеностями і ризиком. ІМ нерідко має назву симулятив-ного моделювання. Перші відомості про метод Монте-Карло були опубліковані в кінці 40-х pp. XX століття. Авторами методу є американські математики-економісти Дж. Нейман і С. Улам. Теор. основою методу СМ є закон великих чисел (ЗВЧ).

Теорема Чебишева:

За необмеженого збільшення кількості незалежних випробувань (n) середнє ар. вільних від систем. помилок і рівноточних результатів спостережень вип. величини , яка має скінч. Дисп. , збігається за ймовірністю до матем. сподівання цієї вип. величини:

(3.1)

де - як завгодно мале додатне число.

Теорема Бернуллі: За необмеж. збільшення числа незал. спроб (n) за одних і тих самих умов відносна частота - настання вип. події збігається за йм. до р, тобто:

де - як завгодно мале додатне число..

Згідно з цією теоремою для отримання ймовірності певної події,

наприклад імовірності станів деякої системи , і=1,..., k, обчислюють відносні частоти для кількості реалізацій, що дорівнює n.

Результати усереднюють і з деяким наближенням одержують шукані ймовірності станів системи. Чим більшим буде n, тим точнішим буде результат обчислення цих імовірностей. .

Розв'язування задач методом СМ:

• опрацювання й побудова стр-ної схеми процесу, виявлення осн. взаємозв'язків;

• формалізований опис процесу;

• моделювання вип. явищ що притаманні досліджуваній системі;

• моделювання процесу функціонування с-ми (на підставі використання даних, що отримані на попередньому етапі) - відтворення процесу відповідно до розробленої стр-ної схеми і формалізованого опису;

• накопичення результатів моделювання, статист. опрацювання, аналіз та інтерпретація їх. Моделювання вип. величин

Послідовність вип. чисел з рівномірним законом розподілу м. отримати:

• використанням таблиць вип. чисел;

• застосуванням генераторів випадкових чисел;

• методом псевдовипадкових чисел.

Псевдовип.числа-числа, отримані за деяким правилом, що імітує значення вип. величини. .

Для перетворення послідовності вип. чисел у послідовність вип. чисел, що є реалізаціями вип. величини із заданою інтегральною функцією розподілу F(x) треба із сукупності вип. чисел з рівн. законом розподілу в інтервалі (0; 1) вибрати випадкове число і розв'язати рівняння:

F{x) = відносно х. (3.5)

У випадку, коли задана функція щільності ймовірності f(x), співвідношення (3.5) набирає вигляду:

Закони розподілу випадкової величини	Щільність розподілу
Експоненційний
Вейбула
Гама-розподіл
Нормальний

Закони розподілу випадкової величини	Формули для моделювання випадкових величин
Експоненційний
Вейбула
Гама-розподіл
Нормальний