§ 11. Частные случаи композиций бинарных операций с отрицанием

а) Композиция конъюнкции с отрицанием.

Исходная операция конъюнкции характеризуется арифметическим массивом:

Y X	0	1
0
1

Для неё функция истинности имеет вид

Согласно построенной общей теории при отрицании первого аргумента в операции конъюнкции происходит перестановка первой и второй строк арифметического массива, что приводит к таблице

Y X	0	1
0		1
1		0

Значит, функция истинности данной операции имеет вид

(11.1)

Аналогично, при отрицании по второму аргументу получается матрица арифметического массива для операции

Y X	0	1
0		0
1	1	0

В этом случае функция истинности принимает вид

(11.2)

При внутреннем отрицании по обоим аргументам для операции вида

получаем арифметический массив:

Y X	0	1
0	1	0
1	0	0

и функцию истинности

(11.3)

Внешнее отрицание конъюнкции приводит к операции

Матрица истинности этой операции имеет вид

Y X	0	1
0	1	1
1	1	0

В технических приложениях эта операция носит наименование «штрих Шеффера», а по методике И.Канта «штокъюнкции» и обозначается

(11.4)

Для штокъюнкции получаем формулу совокупности рабочих блоков

Функцию истинности штокъюнкции мы сразу запишем в виде, согласованном с таблицей логической структуры конъюнкции (см. § 6):

(11.5)

б) Композиция дизъюнкции с отрицанием.

Дизъюнкция (или логическое сложение) имеет арифметический массив:

Y X	0	1
0	0	1
1	1	1

Её функция истинности характеризуется формулой (5.10).

При отрицании по первому аргументу получаем таблицу

Y X	0	1
0	1	1
1	0	1

и соответствующую формулу для функции истинности:

(11.6 )

Эту формулу можно преобразовать с учетом выражений для функции истинности отрицания, тогда получим:

(11.7 )

Сравнивая полученный результат с формулой (5.13), приходим к выводу, что имеет место равенство:

(11.8)

Этой формулой начинается получение многочисленных взаимосвязей между различными бинарными операциями. Все они соответствуют формулам, с помощью которых можно представить один и тот же блок в структуре четырех блоков, которые определённы для каждой из рассматриваемых операций и их композиций. Рассмотрим случай отрицания дизъюнкции по второму аргументу. В этом случае получаем арифметический массив

Y X	0	1
0	1	0
1	1	1

Здесь функция истинности принимает вид

(11.9)

Для неё получаем связь с операций импликации в виде

(11.10)

Для внутреннего отрицания дизъюнкции по обоим аргументам, находим

Y X	0	1
0	1	1
1	1	0

Здесь рабочие блоки образуют конструкт

(11.11)

Следовательно, в этом случае функция истинности имеет вид

. (11.12)

Учитывая вид арифметического массива, можно записать эту формулу в другом виде:

. ( 11.13)

Отсюда следует формула взаимосвязи данной операции с внешним отрицанием конъюнкции:

. ( 11.14)

Эта формула носит наименование 1-го закона до Моргана.

Кроме того, рассмотренная операция совпадает с рассмотренной выше операцией «штокъюнкция»

. (11.15)

Теперь перейдём к рассмотрению внешнего отрицания дизъюнкции

.

Для этой композиции находим арифметический массив:

Y X	0	1
0	1	0
1	0	0

Значит, единственный рабочий блок этой операции

,

а ее функция истинности

(11.16)

Эта операция также имеет своё наименование и обозначение. По методике И.Канта она называется «нильюнкция» и обозначается:

( 11.17)

(Она читается «Х» ниль «У»). Кроме того, в технических приложениях она имеет наименование «стрелка Пирса», в честь одного из математиков, изучавших ее и нашедших ей многочисленные технические приложения.

Мы будем следовать традициям И.Канта.

Операция нильюнкции, как видно из строения ее рабочих блоков, оказывается взаимной к операции дизъюнкции, так как

. ( 11.18).

Эта формула носит наименование второго закона де Моргана. Её доказательство предоставляется читателям.

в) Композиция импликации с отрицанием.

Из основных операций только импликация исходно является

несимметричной логической операцией. При её отрицаниях результат может быть как симметричной, так и несимметричной функцией. Рабочие блоки импликации определяются формулой (5.12). Для этой операции матричная таблица истинности имеет следующий вид

Y X	0	1
0	1	1
1	0	1

Когда выполняется отрицание по первому аргументу, получаем

В соответствии с общим положением, у матрицы истинности происходит перестановка строк:

Y X	0	1
0	0	1
1	1	1

Значит, формула для рабочих блоков имеет вид

(11.19)

Аналогично, если выполняется отрицание по второму аргументу

получаем перестановку столбцов исходной матрицы, что приводит к получению следующих результатов.

Матрица истинности этой операции

Y X	0	1
0	1	1
1	1	0

а формула для рабочих блоков

(11.20)

Из этой таблицы получаем, что данная композиция совпадает по строению с операцией штокъюнкции (штрих Шеффера):

( 11.21)

Теперь можно рассмотреть композицию двух внутренних отрицаний для импликации

Для её матрицы истинности путём перестановки строк в предыдущей таблице, получим

Y X	0	1
0	1	0
1	1	1

что приводит к формуле для рабочих блоков:

(11.22)

Сравнивая эту формулу с (6.12), приходим к выводу:

(11.23 )

Эта формула носит название закона контрапозиции импликации.

Рассмотрим теперь внешнее отрицание импликации

Для неё получаем матрицу истинности

Y X	0	1
0	0	0
1	1	0

Из этой таблицы следует связь этой операции с конъюнкцией

(11.24)

Эта операция имеет также своё название «поляризация» и часто применяется в логике (особенно в теории множеств – как вычитание).

Для поляризации принято обозначение:

(11.25)

Эта формула читается: «Х» без «У», она указывает на исключение некоторых объектов из рассмотрения. По логическому смыслу поляризация является взаимной операцией для импликации.

г) Композиция эквиваленции с отрицанием.

Формула рабочих блоков эквиваленции

Эквиваленция сама может быть рассмотрена как композиция двух взаимных импликаций:

(11.26)

Это легко проверить с помощью функции истинности.

Действительно:

Поэтому произведение этих функций, которое определяет конъюнкцию,

приводит к результату

(11.27)

Этот результат совпадает с формулой эквиваленции (9.3).

При отрицании эквиваленции по первому аргументу, получаем:

Поэтому матрица истинности принимает вид

Y X	0	1
0	0	1
1	1	0

Это означает, что формула для рабочих блоков

Полученная операция имеет самостоятельное значение и называется строгая дизъюнкция( или хартъюнкция). Она обозначается

(11.28)

Легко проверить, что и отрицание эквиваленции по второму аргументу приводит к этой же операции, внутренне отрицание обоих аргументов снова даёт саму эквиваленцию, а её внешнее отрицание снова приводит к хартъюнкции (строгой дизъюнкции).

Таким образом, мы рассмотрели все возможные композиции бинарных операций с отрицанием.

Контрольные вопросы:

1. Виды композиций бинарных операций с отрицанием.

2. Внутреннее отрицание бинарной операции по первому аргументу.

3. Внутреннее отрицание бинарной операции по второму аргументу.

4. Внутреннее отрицание бинарной операции по обоим аргументам.

5. Внешнее отрицание бинарной операции, его логический смысл.

6. Композиция конъюнкции с отрицанием по первому аргументу.

7. Композиция конъюнкции с отрицанием по второму аргументу.

8. Композиция конъюнкции с внутренним отрицанием по обоим аргументам.

9. Внешнее отрицание конъюнкции (операция «штрих Шеффера).

10. Композиция дизъюнкции с отрицанием по первому аргументу.

11. Взаимосвязь между конъюнкцией и импликацией.

12.Композиция дизъюнкции с отрицанием по второму аргументу.

13. Композиция конъюнкции с внутренним отрицанием по обоим аргументам.

14. Первый закон де Моргана и его применение.

15. Внешнее отрицание дизъюнкции (операция «стрелка Пирса»).

16. Второй закон де Моргана и его применение.

17. Универсальные логические операции и их применение.

18. Композиция импликации с отрицанием по первому аргументу.

19. Композиция импликации с отрицанием по второму аргументу.

20. Взаимосвязь импликации с дизъюнкцией.

21. Композиция импликации с внутренним отрицанием по обоим аргументам.

22. Закон контрапозиции для импликации.

23. Операция поляризации высказываний и её применение.

24. Виды композиции эквиваленции с отрицанием.

25. Эквиваленция как конъюнкция двух взаимных импликаций.

26.Операция строгой дизъюнкции и её свойства.