§ 4. Строение универсума высказываний

Нам уже известно, что универсум высказываний W является прямой суммой классов истинных и ложных высказываний. Кроме того, между совокупностями унитерминальных высказываний существуют взаимосвязи, которые следуют из свойств допустимых для них преобразований. Во-первых, отметим, что высказывания с «сильным» квантором всеобщности , имеющие обозначение А и В, не могут быть одновременно истинными: по своему смыслу они либо оба – ложные, либо имеют различные логические значения. Такое их свойство называется противоположностью. Во-вторых, высказывания со «слабым» квантором существования , имеющие обозначение C и D, не могут быть одновременно ложными: по своему смыслу они либо оба – истинные, либо имеют различные логические значения. Такое их свойство называется частичной совместимостью. В-третьих, как уже было указано при изучении отрицания, пары высказываний A,D и B,C обладают свойством взаимной противоречивости: одно из них является отрицанием другого. В-четвёртых, высказывание вида С является ( как частный случай) логически подчинённым высказыванию А, и, аналогично, высказывание D оказывается (как частный случай) логически подчинённым высказыванию вида В. Эти взаимосвязи приводят к схеме «логического квадрата», отражающего особенности универсума высказываний. Логический квадрат имеет вид

A B

C D

Рис. 1

На схеме приняты обозначения по стрелкам

↕ – противоречивость видов пар высказываний {A, D}, {B,C}.

↓ – подчинение (вертикаль иерархии) пар высказываний {A,C},{B,D}.

Верхняя горизонтальная черта символизирует противоположность «сильных» высказываний {A,B}, а нижняя горизонтальная черта –

частичную совместность «слабых» высказываний {C,D}. Вертикальная ось симметрии символизирует в левой половине – позитивность, а в правой половине – негативность высказываний. Горизонтальная ось симметрии отделяет общие и частные виды высказываний. Проведённый анализ логического квадрата приводит к выводу, что универсум высказываний можно подразделить на три блока, которые отражают особенности взаимосвязей видов суждений и их логических значений. Значит, получается структурная таблица (основное семантическое клише, ОСК) универсума высказываний:

W
H	A, B	A, C	B, D
E	C, D	B, D	A, C

Теперь с помощью функции истинности находим таблицу значений унитерминальных высказываний по блокам универсума

X
A	0	0	1	D
B	0	1	0	C
C	1	0	1	B
D	1	1	0	A

Заметим, что для точного определения позиции высказывания достаточно рассмотреть его в паре с соподчинённым ему высказыванием: именно эта пара своими логическими значениями фиксирует позицию высказывания. Например, для высказывания «Все птицы летают», которое является ложью и может располагаться в двух первых блоках универсума, строим подчинённое ему высказывание «Существуют птицы, которые летают». Так как последнее высказывание – истина, то приходим к выводу, что исходное высказывание принадлежит блоку .Пространственная схема строения универсума может быть получена как обобщение структуры логического квадрата. Для этого следует учесть, что каждый вид высказывания имеет двойную логическую характеристику: истина и ложь.

В структуре универсума появляются восемь основных точек, которые можно рассматривать как вершины логического куба: Значит, общая схема логического куба имеет вид:

Схема

логического

куба.

Главные диагонали

куба изображают

результаты

отрицания.

Рис.2

Для каждого блока универсума определяется плоскость изображения:

Блок определяется плоскостью

Рис.3

Аналогично, определяются и другие блоки универсума:

Рис. 4 Рис. 5.

Блок определяется Блок определяется

плоскостью плоскостью

Таким образом, каждый рассматриваемый пример высказываний может быть однозначно изображён на одном из блоков универсума. При преобразованиях типа репродукции и трансформации блок универсума остаётся неизменным.

Рассмотрим два примера анализа высказываний с помощью логического куба.

1) Пусть задано высказывание: Х = {Все окуни являются рыбами}. Сначала определяем вид высказывания. Так как применяется квантор всеобщности и позитивный мостик, то это высказывание первого типа А, причём оно оказывается истиной, потому что отражает объективную основную характеристику субъекта. Окончательно, делаем вывод, что в данном случае . Следовательно, это высказывание принадлежит блоку . Значит, его репродукции также принадлежат этому блоку.

Рекомендуем проверить это читателям.

2) Пусть задано высказывание: Х = {Все рыбы – хищники}. Это высказывание также типа А, но так как существуют не хищные рыбы, то оно является ложным. Для уточнения его расположения строим подчиненное высказывание типа С: {Существуют рыбы, которые – хищники}. Это высказывание является истиной, поэтому исходное высказывание принадлежит блоку . Следовательно, все его преобразования также принадлежат этому блоку. Советуем читателям убедиться в этом самостоятельно.

При построении преобразований репродукции и трансформации следует учитывать, что в зависимости от принадлежности исходного высказывания определённому блоку мы получим различные результаты преобразования. Приведём итоговые таблицы для всех возможных преобразований с учетом принадлежности исходных высказываний определенным блокам универсума.

Для преобразований репродукции получаем таблицы:

R(X)	(B)
	D	E	E	H
	A	H	H	E
	C	E	H	E

R(X)	(A)
	C	E	H	E
	B	H	E	H
	D	E	E	H

R(X)	(C)
	A	H	H	E
	D	E	E	H
	B	H	E	H

R(X)	(D)
	B	H	E	H
	C	E	H	E
	A	H	H	E

Заметим, что репродукция мостика обычно называется превращением, а репродукция квантора в традиционной логике во многих случаях требует дополнительного анализа и редко рассматривается.

Для преобразований трансформации строится универсум = ,

при этом получаются таблицы преобразований:

		E	E	H
		E	E	H
		E	H	E

(A)		E	E	H
(B)		H	E	H
		E	H	E

		E	H	E
		H	H	E
(C)		E	E	H

(A)		H	H	E
(B)		E	H	E
(C)		H	E	H

Так как частноотрицательное суждение обычно не обращается, то и его трансформации не имеет смысла рассматривать.

Таким образом, мы построили все возможные случаи преобразований простых высказываний при изменении квантора и мостика, а также с помощью композиций этих операций с обращением.

Контрольные вопросы :

1. Взаимосвязи между унитерминальными высказываниями.

2. Строение и смысл логического квадрата.

3. Структура универсума высказываний.

4. Таблица истинности унитерминальных высказываний.

5. Пространственная схема универсума высказываний.

6. Рабочие плоскости логического куба.

7. Применение логического куба для анализа высказываний. Примеры.

8. Построение таблиц преобразований.