Глава 3. Многослойные операции

§ 12. Тернарные операции

Тернарные операции являются обобщением бинарных операций на случай, когда заданы три исходных высказывания: X,Y, Z. Так как каждое высказывание определяет покрытие универсума, то в этом случае общее покрытие будет трёхслойным. Здесь строится последовательность бинарных операций, которая называется композицией, то есть, тернарная операция является композиций бинарных операций. При этом одна из бинарных операций, которая выполняется первой, называется внутренней, а вторая – внешней. Символически можно обозначить внутреннюю бинарную операцию символом “ ”, а внешнюю – символом “□”или “◊”.

Так как последовательность выполнения двух бинарных операций может быть различной, то можно рассмотреть два вида схем тернарных операций:

а) первой выполняется внутренняя композиция

(12.1)

а затем – внешняя операция

. (12.2)

Результатом является тернарная операция

(12.3)

б) внутренняя бинарная операция выполняется второй,

в этом случае

. (12.4)

Эту операцию удобно представить в виде композиции, если положить для внутренней бинарной операции:

(12.5)

Тогда получаем:

(12.6)

Для построения таблиц истинности тернарных операций также будем использовать матричный метод, который основан на применении матриц Карно. При этом сначала каждая внутренняя бинарная операция записывается в виде рабочих блоков, затем также записывается внешняя бинарная операция, а после первый результат подставляется в полученное выражение и вычисляется окончательный вид рабочих блоков символьного массива. В таблицах Карно обычно крайним считается высказывание, характеризующее внешнюю операцию. Однако при построении сравнительных таблиц высказывания расставляются по договоренности, чтобы иметь возможность сравнивать результаты.

Рассмотрим схемы для обоих видов тернарных операций, а затем приведём некоторые наиболее существенные для дальнейшего изложения примеры.

а) Если первой выполняется внутренняя бинарная операция

то её матрица истинности может быть записана в виде:

Y X	0	1
0
1

Поэтому символьный массив записывается через рабочие блоки:

(12.7)

Для внешней бинарной операции получаем соответствующую таблицу истинности:

Z M	0	1
0
1

Значит, для внешней бинарной операции получаем формулу рабочих блоков:

(12.8)

Предварительно вычисляем значение : (12.9)

Теперь выражения из формул (12.7) и (12.9) подставляем в формулу для внешней операции и находим окончательное выражение для всей тернарной операции. Символьный массив для тернарных операций первого типа может быть записан в виде таблицы:

Q ( 1 тип )

На основе символьного массива строится совокупность рабочих блоков тернарной операции первого типа. В дальнейшем мы будем опускать символ конъюнкции и записывать выражения в виде стандартного произведения.

(12.10)

В этой формуле приняты обозначения:

(12.11)

Значит, матрица функции истинности по схеме Карно может быть записана в виде:

Z	Y X	0	1
0	0
0	1
1	0
1	1

Аналогично получаются результаты и для второго вида тернарных операций. Этот случай может быть записан в виде:

(7.12)

где

Эти бинарные операции расписываются стандартным образом. Кроме матричных таблиц Карно в логике применяется графическое изображение специального вида, которое называется полем Канта. Для тернарной операции первого типа поле Канта имеет вид:

Y X		0				1
0
					Z
1

В этом поле проводится штриховка (заливка) рабочих блоков. Рабочие поля имеют шифр, соответствующий набору значений функции истинности тернарной операции.

Обычно при решении конкретных задач в схеме поля Канта не указывают наборы значений входящих высказываний, чтобы более наглядно изобразить саму заливку полей, соответствующих рабочим блокам.

Аналогичная схема поля Канта получается и для второго типа тернарных операций (с учётом перестановки высказываний).

Эту структуру можно представить таблицей:

Z Y		0				1
0
					X
1

Контрольные вопросы:

1. Понятие о тернарных операциях.

2. Виды тернарных операций.

3. Структура тернарной операции.

4. Логический анализ тернарной операции первого вида..

5.Символьный массив тернарной операции.

6. Матрица истинности тернарной операции.

7. Поле Канта для тернарной операции первого вида.

8. Логический анализ тернарной операции второго вида.