Глава 2. Бинарные операции с высказываниями

§ 5 Понятие о бинарных операциях

Построение сложных высказываний связано с принципами соединения простых высказываний по определенным схемам с помощью бинарных логических операций.

Пусть заданы два простых высказывания

(5.1)

Здесь мы указываем в скобках значения функции истинности каждого высказывания:

(5.2)

Бинарная операция связывает эти простые высказывания в сложное высказывание, соответствующее по смыслу сложно сочинённому или сложно подчинённому предложению с некоторыми союзами. Сами соединительные союзы в математической логике имеют символические обозначения, а результаты бинарных операций по логическому значению однозначно определяются значениями исходных высказываний по законам, отражающим суть самой операции.

Мы будем придерживаться методики и терминологии, предложенной И.Кантом (см. ([8]). Все бинарные операции условно подразделяются на основные и взаимные. Взаимные операции представляют собой внешние отрицания основных операций. Заметим, что в процессе построения сложных высказываний должен сохраняться смысл самих исходных высказываний, а полученное сложное высказывание не должно быть бессмыслицей.

Любая бинарная операция представляет собой «логическое произведение» двух элементов из различных универсумов высказываний (в частности, из одного, дважды взятого универсума W): если обозначить саму бинарную операцию символом « », а «логический квадрат» самого универсума высказываний – символом « », то можно записать:

(5.3)

Сама бинарная операция рассматривается как отображение . Реальное выражение этого отображения определяется структурными формулами вида (5.8), в которых указываются как основная бинарная операция, так и её внешнее отрицание.

Основными бинарными операциями являются:

а) логическое умножение или конъюнкция, которая обозначается символом «&» (или символом ); этот символ читается как союз «и»:

(5.4)

б) логическое сложение или дизъюнкция, которая обозначается символом « »; этот символ читается как союз «или»:

(5.5)

в) логическое следование или импликация, которая обозначается символом « » и читается «если…, то…»:

(5.6)

г) логическое тождество или эквиваленция, которая обозначается символом « » и читается «…тогда и только тогда, когда…»:

(5.7)

Кроме того, существует четыре бинарных операции, взаимных к основным; они будут рассмотрены в дальнейшем.

Если в общем случае обозначить классы истинности как , то

бинарную операцию можно представить как результат логического умножения классов истинности по формуле:

k

Z =∑ i, j, k = 0,1. (5.8)

i,j

Величины принимают значения {0,1} и могут быть представлены таблицей структуры бинарной операции:

k	0		1
j i	0	1	0	1
0
1

Матричная запись оказывается более удобной для многих случаев сложных высказываний, поэтому мы будем отдавать ей предпочтение. Такая таблица называется арифметической, потому что определяет значения арифметической функции истинности бинарной операции по значениям функций исходных высказываний. Её аналогом для записи структуры бинарной операции через выражения самих заданных высказываний и их отрицаний является «символьный массив» бинарной операции, который в общем случае имеет вид (стрелка указывает порядок вхождения аргументов в формулу):

Y X

Эта схема называется «метод четырёх блоков», так как на соответствующих пересечениях исходных элементов и их отрицаний стоят блоки, отражающие их конъюнкции. В каждой бинарной операции существует собственный набор рабочих блоков, соответствующий наборам единичных значений в арифметическом массиве. Следовательно, сам арифметический массив для произвольной бинарной операции может быть записан в виде таблицы:

Y X	0	1
0
1

Здесь: – значения функции истинности изучаемой бинарной операции, они принадлежат множеству {0,1}. Совокупность рабочих блоков бинарной операции в общем случае следует из формулы:

(5.9)

Эта формула характеризует «логическое произведение» матриц истинности и символьного массива. Оно выполняется поэлементно с последующим суммированием результатов. Аналогично находится выражение для отрицания бинарной операции общего вида:

(5.10)

k	0		1
j i	0	1	0	1
0
1

Формулы (5.9) и (5.10) позволяют структурировать матричное выражение для :

Вычисляем теперь значение функции истинности для общего вида бинарной операции:

(5.11)

Для каждой бинарной операции указывается определяющее характеристическое свойство, таблица истинности (двух видов), структура рабочих блоков и функция истинности.

Контрольные вопросы :

1. Логический смысл бинарной операции.

2. Основные виды бинарных операций.

3. Таблица структуры бинарной операции.

4. Символьный массив бинарной операции.

5. Арифметический массив бинарной операции.

6. Совокупность рабочих блоков бинарной операции.

7. Внешнее отрицание бинарной операции.

8. Матричное выражение структуры бинарной операции.

9.Фукнция истинности бинарной операции.