§ 13. Применение тернарных операций

Рассмотрим конкретные примеры тернарных операций различных типов, применяя к ним общую схему исследования с помощью символьных массивов, характеризующих рабочие блоки операции и таблиц Карно, как структурной модели операции.

а) Операции первого типа, содержащие как основные, так и взаимные, бинарные операции.

Сразу заметим, что такого вида операций бесчисленное множество. Поэтому мы остановимся лишь на некоторых примерах.

1а) Тернарные композиции, содержащие только один рабочий блок: их особенностью является присутствие в матрице Карно единственного значения «1».

1.1.1. Q=(X&Y)&Z. (13.1)

Сначала рассматриваем внутреннюю бинарную операцию

M=X&Y. (13.2)

Для нее получаем вид структуры четырех блоков:

Y X
	0	0
	0	1

Аналогичную структуру получаем и для внешней бинарной операции

Q=M&Z (13.3)

Z M		Z
	0	0
	0	1

Следовательно, для всей бинарной операции получаем такой вид таблицы Карно:

Z	Y X	0	1
0	0	0	0
0	1	0	0
1	0	0	0
1	1	0	1

Поле Канта в этом примере имеет вид:

Y X		0				1
0
					Z
1

Естественно, что при этом:

(13.4)

1.1.2. Пусть задана формула

Q =(X&Y)\Z . (13.5)

В этой задаче используются взаимные функции: поляризация, и конъюнкция, для которых ранее были найдены матрицы истинности и рабочие блоки. Поэтому мы не будем приводить полностью всех вычислений по правилам четырёх блоков, которые довольно просты.

Последовательность действий при составлении и анализе тернарных операций нами приведена в предыдущем примере и является универсальной. Поэтому ограничимся краткой сводкой результатов.

Не приводя всех вычислений, сразу запишем результат в виде матрицы Карно:

Z	Y X	0	1
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	0	0
1	1	0	0

Значит, в этом примере также только один рабочий блок

.

Функция истинности здесь принимает вид:

(13.6)

Отметим, что этот результат показывает довольно слабую логическую силу построенной формулы. Изобразим и поле Канта для этой задачи:

Y X		0				1
0
					Z
1

2а) Тернарные операции, содержащие два рабочих блока.

1.1.3. (13.7)

Здесь для внутренней операции получаем матрицу

Y X
	1	0
	0	1

а для внешней операции имеем результат

Q=M&Z

Z M		Z
	0	0
	0	1

В итоге получаем формулу рабочих блоков

(13.8)

Теперь составим матрицу Карно для всей операции:

Z	Y X	0	1
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	0	0
1	1	0	1

Не останавливаясь на выражении функции истинности, изобразим для рассмотренного примера поле Канта, имеющее только два рабочих (залитых) поля.

Схема Канта имеет вид:

Y X		0				1
0
					Z
1

Сравнивая рассмотренные примеры, видим, что поле Канта в первом случае является частью поля Канта во втором случае. Таким образом получаем импликацию:

б) Операции второго типа.

Рассмотрим примеры тернарных композиций, содержащих три или четыре рабочих блока.

1б) Формула содержит три рабочих блока.

1.2.1. (13.9)

Здесь внутренняя бинарная операция – импликация,

Для нее формула рабочих блоков

При этом отрицание имеет один рабочий блок

Внешняя операция является конъюнкцией

Поэтому получаем

(13.10)

Теперь записываем матрицу Карно для этой операции:

Z	Y X	0	1
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	0	0
1	1	1	1

Мы не будем приводить явный вид функции истинности, предоставив читателю самостоятельно закончить задачу.

Здесь поле Канта имеет вид:

Y X		0				1
0
					Z
1

1.2.2. Путь матрица Карно содержит четыре рабочих блока:

Получаем для внутренней операции ( нильюнкции)

А для внешней операции – эквиваленции

(13.11)

Таким образом, получаем матрицу Карно для всей операции:

Z	Y X	0	1
0	0	0	1
0	1	1	0
1	0	1	1
1	1	0	0

Соответствующее поле Канта имеет схему:

Y X		0				1
0
					Z
1

Рекомендуем читателям самостоятельно рассмотреть различные сочетания внутренних и внешних бинарных операций для получения навыков работы с тернарными операциями.

в) Заметим, что тернарными по своей сути являются и так называемые сложные бинарные операции, в частности, «усечённая» дважды бинарная операция, которую в общем случае можно представить в виде формулы:

(13.12)

где в скобках указаны внутренние бинарные операции, а вне скобок находится внешняя бинарная операция.

Для таких операций сначала рассматриваются обе внутренние операции и находятся их рабочие блоки, затем строятся отрицания этих бинарных композиций, а все результаты подставляются в выражение внешней бинарной операции.

Заметим, что для сложных тернарных операций, какими являются дважды бинарные операции, применяется лексикографическая последовательность высказываний (X,Y,Z).

Приведём два примера таких композиций.

3.1.1. Рассмотрим дважды бинарную операцию

(13.13)

Для нее получаем вид внутренних операций:

(13.14)

Внешняя операция – дизъюнкция – имеет следующие рабочие блоки:

Подставляя в эту формулу выражения для внутренних операций и их отрицаний, получим:

(13.15)

Таким образом, в данной тернарной операции имеется всего три рабочих блока и пять нерабочих.

Значит, матрица Карно для этой тернарной операции имеет вид:

Z	Y X	0	1
0	0	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	1	1	0

Для рассматриваемого примера получаем поле Каната:

Y X		0				1
0
					Z
1

3.1.2. Рассмотрим ещё один подобный пример:

(13.15)

Строим, как и в первом случае, формулы внутренних бинарных

операций и их отрицаний

Внешняя операция – конъюнкция, она приводит к результату:

(13.16)

Строим матрицу Карно для этой тернарной операции:

Z	Y X	0	1
0	0	1	1
0	1	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1

Для этого случая также построим поле Канта:

Y X		0				1
0
					Z
1

Отметим, что если обозначить результат примера 3.1.1. через , а результат примера 3.1.2. через , то получаем:

(13.17)

Естественно, что при этом заливка полей Канта оказывается дополнительной.

Поэтому эквиваленция этих формул является противоречием.

Примечание 1. В [6] доказательство этого факта занимает целую страницу с весьма сложными выкладками. Это ещё раз демонстрирует эффективность матричных методов, применяемых в нашем пособии.

Примечание 2. Иногда рассматриваются так называемые «обратные задачи», когда исходно определена только таблица истинности (в традиционных случаях – это линейная таблица), и по указанным в ней значениям функции истинности предлагается построить вид самой тернарной операции. Оказывается, что в этом случае представление в виде композиции двух бинарных операций становится затруднительным (даже порой неразрешимым).

При этом тернарная операция имеет таблицу:

n	0	1	2	3	4	5	6	7
X	0	1	0	1	0	1	0	1
Y	0	0	1	0	0	0	1	1
Z	0	0	0	0	1	1	1	1
Q	a	b	c	d	e	f	g	h

Сначала мы рекомендуем построить поле Канта по заданным значениям рабочих блоков, а затем записать выражение для совокупности рабочих блоков и функцию истинности этой операции.

Контрольные вопросы

1.Тернарные операции первого вида с одним рабочим блоком.

2. Тернарные операции первого вида с двумя рабочими блоками.

3.Тернарные операции второго вида с двумя рабочими блоками.

4. Тернарные операции второго вида с тремя рабочими блоками.

5.Тернарные операции второго вида с четырьмя рабочими блоками.

6. Понятие о сложных тернарных операциях. Примеры.

7. Усеченная дважды бинарная операция.

8. Построение дважды бинарных операций.

9. Понятие о противоречивых тернарных операциях. Примеры.

10. Понятие об обратных логических задачах и их применение

в анализе тернарных операций.