§ 16. Специальные виды сложных высказываний

К этой группе относятся: силлогизмы, полисиллогизмы, эпихейремы, сориты, энтимемы, дилеммы и условные умозаключения. Мы в данном пособии проведём изучение только фигур силлогизма, суть которого в установлении правильности (или наличия дефектов) структуры рабочих блоков.

Мы будем рассматривать фигуры силлогизма в виде формализованной записи причинно-следственной цепочки суждений. При этом их конструкции можно представить в следующем виде:

1 фигура силлогизма:

(16.1)

2 фигура силлогизма:

(16.2)

3 фигура силлогизма:

(16.3)

4 фигура силлогизма:

(16.4)

Каждая из этих фигур представляет собой сложную тернарную операцию, для которой нужно построить совокупность рабочих блоков и карту Карно или поле Канта для графической иллюстрации. В том случае, когда арифметическая матрица истинности не содержит нулевых блоков, фигура является законом логики (тавтологией). В противном случае каждый нулевой элемент указывает на нерабочий блок, который считается «дефектом» фигуры силлогизма. Проведём анализ каждой из этих фигур.

1 Фигура.

Представляем эту фигуру в виде последовательности бинарных операций:

Теперь записываем совокупности блоков данных бинарных операций и их отрицаний.

Для первой импликации получаем:

Для второй импликации – аналогично:

Также для третьей импликации:

Вычисляем выражение в двойных скобках и его отрицание:

В результате находим выражение для всей формулы:

Подставляя в последнее выражение значения соответствующих операций, находим:

Итак, в выражение входят все восемь блоков универсума, поэтому первая фигура силлогизма является законом логики (тавтологией).

2 Фигура.

В данном случае получаем последовательность бинарных операций:

Для внутренних бинарных операций и их отрицаний получаем:

Поэтому для конъюнкции и её отрицания находим:

Таким образом, получаем рабочую компоненту для всей операции:

Значит, в данной формуле есть нерабочий (дефектный) блок

Следовательно, вторая фигура силлогизма не является законом логики и требует исправления (преобразования к виду закона логики), которое будет указано в параграфе, посвященном законам логики.

3 Фигура.

На примере третьей фигуры силлогизма рассмотрим применение табличных методов. В данном случае получаем

где обозначено

Выражение Р следует преобразовать в эквивалентную форму с тремя переменными

Для этой формы можно построить карту Карно с восемью рабочими блоками, которые затем следует сравнивать с соответствующими блоками у выражения S.

Таким образом, для выражения получаем таблицу:

Z	Y X	0	1
0	0	1	1
0	1	1	1
1	0	0	1
1	1	0	1

Теперь переходим к построению выражения S. Так как

Получаем по формуле для конъюнкции как логического произведения:

Поэтому, после раскрытия скобок,

Значит, для S получается таблица

Z	Y X	0	1
0	0	1	1
0	1	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1

Проведём сравнение значений функции истинности для S и , учитывая, что логическое следование (импликация) характеризуется требованием выполнения неравенств:

Это неравенство нарушается только в блоке Поэтому указанный блок оказывается «дефектом» рассмотренной фигуры силлогизма. Эта фигура также, как и предыдущая, не является законом логики и требует исправления, которое будет указано в параграфе, посвященном законам логики.