§ 14. Симметричные тернарные операции

1. Тернарная логическая операция называется симметричной, если её результат не зависит от последовательности входящих в неё трёх исходных высказываний. Такие операции легко получить из общей формулы (12.10) путём наложения условия симметрии по всем аргументам. При этом нас будет интересовать конечный результат для функции истинности этой операции, который, естественно, является линейной комбинацией трёх симметрических многочленов:

(14.1)

Общая формула для совокупности рабочих компонент находится, как было отмечено, из формулы (12.10) и имеет вид:

(14.2)

Параметры могут принимать значения из множества {0;1}.

Сначала мы перечислим все возможные варианты, а затем найдём явные выражения для функций истинности этих операций (будем для сокращения обозначать их аббревиатурой СТО).

2. Прежде всего, заметим, что, при , будут получаться СТО, связанные с внешним отрицанием тех СТО, которые соответствуют значению . Поэтому мы сначала рассмотрим все возможные случаи для нулевого значения первого параметра, а остальные СТО выразим, как внешние отрицания уже полученных СТО. Все получающиеся СТО мы будем нумеровать с помощью уже применявшейся двоично-десятичной схемы, которая в данном случае становится удобной.

Для сокращения табличных записей введём дополнительные обозначения для совокупностей рабочих компонент:

(14.3)

Укажем строение полей Канта для совокупностей рабочих компонент во втором и третьем случаях, так как первых и последний случаи очень просты. Для второго случая ( ) получаем:

Y X		0				1
0
					Z
1

Аналогично и для третьего случая, когда рассматривается , находим:

Y X		0				1
0
					Z
1

Отметим, что при объединении все четыре симметричных компоненты определяют всё полное покрытие универсума без наложений и пересечений, то есть, правильное покрытие. Подобные поля Канта могут быть построены и для самих симметричных тернарных операций, к определению которых мы теперь переходим.

Все возможные СТО при нулевом первом параметре определяются следующей таблицей:

№				Вид формулы
0	0	0	0
1	0	0	1
2	0	1	0
3	0	1	1
4	1	0	0
5	1	0	1
6	1	1	0
7	1	1	1

3. Значения искомых функций истинности для СТО, полученных в этой таблице, будем обозначать малыми латинскими буквами с соответствующими индексами:

(14.4)

При этом мы сразу будем записывать окончательные результаты для значений этих функций истинности через симметрические многочлены (14.1):

(14.5)

Другие восемь СТО получаются из построенных путём внешнего отрицания, что сразу приводит к результатам:

. (14.6)

В общем случае все полученные СТО могут быть выражены через симметрические многочлены (с добавлением единичного многочлена

). Коэффициенты этих линейных комбинаций мы будем называть спектром СТО и обозначать через где k – номер СТО.

В результате получаем спектральную таблицу всех СТО, в которой указываются коэффициенты их спектров.

,к	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	-1	-1	-1	-1
	0	0	1	1	-2	-2	-1	-1	0	0	-1	-1	2	2	1	1
	0	1	-3	-2	3	4	0	1	0	-1	3	2	-3	-4	0	-1

Заметим в заключение, что все остальные тернарные операции являются композициями СТО и внутренних отрицаний различных видов (по одному, двум или трём переменным).

Рассмотрим некоторые конкретные примеры вычисления этих формул.

a) Для вычисления получаем:

б) Для вычисления аналогично находим:

в) Для вычисления соответственно получаем:

Аналогично можно рассмотреть и симметричные логические операции с четырьмя исходными высказываниями, то есть, квадра – операции, так как все рассуждения и вычисления в этом случае аналогичны выполненным, мы предоставляем эти исследования для самостоятельной работы пытливым читателям (после знакомства с содержанием следующего параграфа данного пособия).

Контрольные вопросы

1. Вид тернарных симметрических многочленов.

2. Основные формула для рабочих компонент СТО.

3. Вид совокупностей рабочих блоков СТО.

4. Таблица основных СТО.

5.Выражение основных СТО через симметрические многочлены.

6. Таблица спектров всех видов СТО.

7. Примеры вычисления СТО.

8. Поля Канта для рабочих компонент СТО.

9. Поля Канта для различных видов СТО.

8. Поля Канта для рабочих компонент СТО.

9. Поля Канта для различных видов СТО.