106

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Роль логического аппарата как средства получения новых результатов в области математики нельзя переоценить. Прежде всего, эта дисциплина связана с большинством разделов и тем современной математики. Символический язык математической логики является важным методом в изучении логических основ многих научных предметов высшей школы.

В настоящее время основы математической логики стали одним из методологических аспектов экономической теории, в частности, микроэкономики, эконометрики и экономического анализа деятельности фирм и предприятий.

В результате освоения курса математической логики студенты должны получить базовые знания, умения и навыки в работе с логическими формами, символическими исчислениями, законами логики и её основными приложениями.

Государственный стандарт по математической логике включает в себя следующие темы: алгебра высказываний, нормальные формы, совершенные нормальные формы, теорема существования и единственности этих форм, понятие о логическом следствии, видах теорем, о законе контрапозиции, основных методах в логических доказательствах, виды логических операций и их применение, применение алгебры высказываний к описанию релейно-контактных схем.

Также изучаются вопросы исчисления высказываний, их основные формулы, аксиомы и правила вывода. Указываются формулы логики предикатов, проводится исследование системы аксиом на непротиворечивость и полноту. Затем изложенная теория применяется к изучению строения математических теорем, обоснованию методов аргументации и доказательства, рассматриваются вопросы исчисления предикатов, их непротиворечивости и полноты.

Кроме того, возможно расширение логических представлений путём введения гипотетических суждений и построения теории версий, которая используется в юриспруденции. Этих вопросам мы предполагаем уделить внимание в других разработках.

В процессе обучения математической логике предполагается большой объём учебной и самостоятельной работы, позволяющей студентам получить достаточный навык решения задач, кроме того, предполагается проведение контрольных работ, тестирование и домашняя расчетная работа.

Особенностью предлагаемого учебного пособия является применение арифметической функции истинности к изучению всех вопросов математической логики, а также использование матричных таблиц Карно при построении бинарных и более сложных логических операций.

Такой подход можно рассматривать как одну из возможных интерпретаций логической системы, соответствующей структуре классической двузначной логики. Этот метод легко обобщается и на многозначные логики, что будет показано в других пособиях.

Каждая глава содержит материалы по изученным темам, что позволяет студентам получить навык самостоятельной работы с этим непривычными методами. Мы рекомендуем применять параллельно как табличные, так и функциональные методы, чтобы иметь возможность в каждом конкретном случае решения задач выбирать наиболее эффективный метод решения.

Кроме того, мы рекомендуем читателям попробовать решать задачи из уже изданных, известных учебников и задачников предлагаемыми в настоящем пособии методами. Это поможет вам убедиться в целесообразности применения функциональной интерпретации классической логики во многих случаях.

Пособие может быть рекомендовано студентам, обучающимся по специальностям, связанным с вычислительной математикой, логикой, информатикой, а также их приложениями в философии, экономике, логистике и других конкретных дисциплинах.

Глава 1. Простые высказывания

§ 1. Основные логические формы

В классической (двузначной) логике рассматриваются три основных вида логических форм: понятие, суждение и умозаключение. Понятие как логическая форма отражает предметы мысли в их существенных характеристиках. Мы не будем в настоящем пособии подробно останавливаться на теории понятий, рекомендуем читателям учебники [1] , [8], [11].

Суждение представляет собой логическую форму, в которой утверждаются или отрицаются рассматриваемые свойства предметов. Суждения могут быть простыми и сложными. Простые суждения обычно выражаются простыми повествовательными предложениями, имеющими традиционное формальное строение: подлежащее, сказуемое, второстепенные члены предложения. По логическому смыслу суждения подразделяются на категорические, гипотетические, аналитические и факторные. В математической логике применяются только категорические суждения, которые называются высказываниями.

Логически обоснованная последовательность суждений является умозаключением, обычно они содержат два или три предложения, формулирующие последовательное представление о предмете мысли.

Среди умозаключений выделяются силлогизмы, как специальные виды умозаключений, построенные по определенным правилам (фигурам).

Суждение называется категорическим, если можно обоснованно утверждать его истинность или ложность. Истина рассматривается как адекватное отражение объективной реальности или свойств изучаемых предметов. Ложь рассматривается как неадекватное, неверное или иллюзорное предложение о предполагаемых свойствах. Адекватность означает отсутствие искажений в информации, содержащейся в данном высказывании. Ложь представляет собой утверждение об отсутствии истины. Ложь и истина, высказанные для одних и тех же объектов, являются противоречивыми предложениями: если одно из них верно, то второе – нет. Отрицание представляет собой простейший вид логического преобразования высказывания. Во многих случаях для сохранения содержательного смысла при отрицании высказывания выполняется его переформулировка, в частности, замена простого предложения сложно подчинённым.

Традиционно высказывания обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, некоторые из которых специализированно выражают вид высказывания по его внутреннему строению.

Множество всех высказываний, имеющих смысл в данной области исследований, называется универсумом высказываний и обозначается W. Этот универсум является прямой суммой классов высказываний, определенных их истинностью: класс ложных высказываний обозначается Н, а класс истинных высказываний обозначается Е. Таким образом, получаем формулу для вида универсума:

W = H E, (1.1)

где - символ прямой суммы множеств.

Обычно для обозначения логических значений классов Н и Е применяется функция истинности как отображение универсума W в двухэлементное множество {0,1} по правилу:

(1.2)

Применение функции истинности оказывается удобным аппаратом при изучении математической логики, и мы будем его использовать наряду с традиционными табличными методами.

Контрольные вопросы

1.Понятие как логическая форма. Примеры.

2. Суждение как логическая форма. Примеры.

3. Высказывания как категорические суждения.

4. Умозаключения как логическая форма. Примеры.

5. Истинность и ложность высказываний. Примеры.

6. Отрицание высказываний.

7. Логическая символика.

8. Универсум высказываний и образующие его классы.

9. Функция истинности высказывания.