§ 9. Эквиваленция высказываний

Следующей основной бинарной операцией является часто применяемое логическое тождество или эквиваленция. Два высказывания называются эквивалентными, если у них совпадают логические значения, то есть, либо они оба одновременно – ложные, либо оба одновременно – истинные. По своему основному характеристическому свойству эквиваленция является истиной только в том случае, когда исходные высказывания логически эквивалентны, а в двух других случаях эта операция дает в результате ложь. Эквиваленция обозначается символически:

. (9.1)

По этому свойству получаем арифметическую матричную таблицу истинности для эквиваленции:

Y X
	1	0
	0	1

Отсюда находим символьный массив для эквиваленции, в котором всего два рабочих блока:

Y X

По рабочим блокам записываем формулу для символьного массива эквиваленции:

(9.2)

Теперь получаем формулу для функции истинности:

(9.3)

Если применить формулы отрицания высказываний и преобразовать с их помощью выражение (9.3), то можно придти к формуле:

(9.4)

Это позволяет построить матрицу логической структуры эквиваленции

k	0		1
j i	0	1	0	1
0	0	1	1	0
1	1	0	0	1

Рекомендуем читателям проверить формулу самостоятельно.

Контрольные вопросы:

1. Понятие об эквивалентности высказываний.

2. Эквиваленция высказываний и её основные свойства.

3. Таблицы истинности эквиваленции.

4. Символьный массив и рабочие блоки эквиваленции.

6.Функция истинности эквиваленции.

7. Матрица логической структуры эквиваленции.

§ 10. Композиция отрицания с основными

бинарными операциями

Если задана некоторая бинарная операция

,

то для неё возможны четыре различных способа построения композиции с применением отрицания:

а) внутреннее отрицание только первого аргумента

, (10.1)

б) внутреннее отрицание только второго аргумента

, (10.2)

в) внутренне отрицание обоих аргументов

, (10.3)

г) внешнее отрицание всей бинарной операции

. (10.4)

Рассмотрим строение этих композиций.

а) Исходная бинарная операция имеет арифметический массив

Y X	0	1
0
1

Внутреннее отрицание элемента Х имеет вид таблицы:

X	0	1
	1	0

Значит, в данной операции первая строка арифметического массива будет соответствовать значению «1», а вторая строка – значению «0».

Таким образом, строки исходного арифметического массива меняются местами:

,

Y X	0	1
0
1

При этом получаем формулу для матрицы истинности данной бинарной операции:

(10.5)

б) Во втором случае по аналогии получаем, что при отрицании по второму аргументу будут меняться местами столбцы арифметического массива.

При

приходим к арифметическому массиву этой композиции, который имеет вид:

Y X	0	1
0
1

Функция истинности записывается аналогично предыдущему случаю (рекомендуется для самостоятельного вычисления).

в) Когда рассматривается внутреннее отрицание обоих аргументов, следует представлять эту операцию как последовательную композицию первого и второго видов отрицаний. Поэтому, к формуле для применяется отрицание по второму аргументу, то есть, у матрицы её массива переставляются столбцы, и в результате получаем таблицу:

Y X	0	1
0
1

Рекомендуем читателям самостоятельно записать значение функции истинности для этой композиции.

г) Для случая внешнего отрицания мы получаем, что

,

что фактически означает:

Следовательно, арифметический массив этой операции получается заменой исходных значений параметров на взаимно противоположные

значения:

Y X	0	1
0
1

Контрольные вопросы:

1.Способы построения композиций отрицания с бинарными операциями.

2. Внутреннее отрицание бинарной операции по первому аргументу.

3 Внутреннее отрицание бинарной операции по второму аргументу.

4. Внутренне отрицание бинарной операции по обоим аргументам.

5. Внешнее отрицание бинарной операции.