Лабораторна робота № 9. Вивчення властивостей підгруп групи.

Дана лабораторна робота призначена для вивчення роботи з підгрупами.

Докладні відомості по даних темах містяться: - в розділі "Операції над групами і їх елементами" <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\4-groups.htm> і Додатку B <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\b-funct.htm> (деякі функції GAP для роботи з групами) даної методичної допомоги; - в розділі "Groups" довідкового керівництва за системою GAP <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\tppmsgs\msgs0.htm> і інших відповідних його розділах.

Приклад. У яких Силовських 2-подгруппах групи S4 містяться підстановки (1 3 2 4), (1 3) і (12)(34) ?

Дану задачу можна вирішити в інтерактивному режимі таким чином. Спочатку задамо початкову групу: gap> S := Symmetricgroup(4); Sym( [ 1 .. 4 ] )

Обчислимо її Силовські 2-підгруппи. Оскільки по другій теоремі Силова всі Силовські р-подгрупы зв'язані, то функція Sylowsubgroup повертає тільки одну підгрупу, яка є представником деякого класу зв'язаних підгруп.

gap> P2 := Sylowsubgroup( S, 2 ); Group([ (1,2), (3,4), (1,3)(2,4) ])

Для того, щоб отримати решту підгруп з цього класу, спочатку потрібно створити клас зв'язаних підгруп даної групи із заданим представником, а потім отримати список підгруп, що містяться в нім: gap> c2 := Conjugacyclasssubgroups( S, P2 ); Group( [ (1,2), (3,4), (1,3)(2,4) ] )^G gap> l2 := Aslist( c2 ); [ Group([ (1,2), (3,4), (1,3)(2,4) ]), Group([ (1,3), (2,4), (1,2)(3,4) ]), Group([ (1,4), (2,3), (1,2)(3,4) ])]

Тепер ми можемо отримати з нього списки підгруп, які містять вказані підстановки: gap> Filtered( l2, g -> (1,3,2,4) in g ); [ Group([ (1,2), (3,4), (1,3)(2,4) ])] gap> Filtered( l2, g -> (1,3) in g ); [ Group([ (1,3), (2,4), (1,2)(3,4) ])] gap> Filtered( l2, g -> (1,2)(3,4) in g ); [ Group([ (1,2), (3,4), (1,3)(2,4) ]), Group([ (1,3), (2,4), (1,2)(3,4) ]), Group([ (1,4), (2,3), (1,2)(3,4) ])]

Завдання для лабораторної роботи № 9.

Варіант 1. Розробити функцію, яка для заданої групи повертає безліч порядків всіх її підгруп, отриману як безліч порядків представників її класів зв'язаних підгруп. Вказівка: використовувати функції Conjugacyclassessubgroups, Representative. Варіант 2. Розробити функцію, яка для заданої групи повертає список простих дільників порядку групи з вказівкою порядку і кількості відповідних р-подгрупп Силовських. Вказівка: використовувати функцію Sylowsubgroup, Conjugacyclasssubgroups. Варіант 3. Розробити функцію, яка для заданої групи повертає безліч порядків її максимальних підгруп. Вказівка: використовувати функції Size, Maximalsubgroups Варіант 4. Розробити функцію, яка для заданої групи повертає безліч порядків її нормальних підгруп. Вказівка: використовувати функції Size, Normalsubgroups Варіант 5. Розробити функцію, яка для заданої групи визначає список порядків чинників її нижнього центрального ряду. Вказівка: використовувати функції Size, Lowercentralseries Варіант 6. На прикладі знакозмінної групи A4 показати, що нормальна підгрупа K нормальної підгрупи H групи G не обов'язково є нормальною у всій групі G. Вказівка: використовувати функції Normalsubgroups, Isnormal. Варіант 7. Знайти всі підгрупи в циклічній групі близько 360. Перевірити, що вони утворюють ланцюг підгруп. Вказівка: використовувати функції Normalsubgroups, Issubgroup Варіант 8. Перевірити, що групи S3, A4, S4 є вирішуваними. Вказівка: використовувати функцію Derivedsubgroup. Варіант 9. Скласти функцію, яка для заданої групи обчислює підгрупу Фраттіні, тобто перетин всіх її максимальних підгруп. Вказівка: використовувати функції Intersection, Maximalsubgroups Варіант 10. Скільки різних силовських р-подгрупп міститься в групі A5 для р = 2, 3, 5 ? Вказівка: використовувати функцію Sylowsubgroup. Варіант 11. Розробити функцію, яка для для заданої групи повертає список представників класів зв'язаності її Силовських р-подгрупп. Вказівка: використовувати функцію Sylowsubgroup. Варіант 12. Розробити функцію, яка для заданої групи визначає порядок її фактор-группи по коммутанту. Вказівка: використовувати функції Size і Derivedsubgroup Варіант 13. Перевірити, що знакозмінна група A5 є простою, тобто не містить нетривіальних нормальних підгруп. Вказівка: використовувати функцію Normalsubgroups Варіант 14. Перевірити, що підгрупа групи S7, породжена підстановками (1 2 3) і (1 4 5 6 7), не є вирішуваною. Вказівка: використовувати функцію Derivedsubgroup. Варіант 15. Розробити функцію, яка для заданої групи визначає список показників (експонент) елементів її нижнього центрального ряду. Вказівка: використовувати функції Exponent, Lowercentralseries

Варіант 16. Скласти функцію, яка для заданої групи обчислює список порядків елементів її нижнього центрального ряду. Вказівка: використовувати функції Size, Lowercentralseries Варіант 17. Скласти функцію, яка для заданої групи визначає безліч індексів її максимальних підгруп. Вказівка: використовувати функції Index, Maximalsubgroups Варіант 18. Знайти всі силовськие р-подгруппы в групах S3, A4. Вказівка: використовувати функцію Sylowsubgroup.