Лабораторна робота № 8. Вивчення властивостей елементів групи

Дана лабораторна робота призначена для вивчення деяких прийомів роботи з елементами груп.

Докладні відомості по даних темах містяться: - в розділі "Операції над групами і їх елементами" <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\4-groups.htm> і Додатку B <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\b-funct.htm> (деякі функції GAP для роботи з групами) даної методичної допомоги; - в розділі "Groups" довідкового керівництва за системою GAP <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\tppmsgs\msgs0.htm> і інших відповідних його розділах.

Приклад: Знайти всі 2-елементні множини, що породжують симетричну групу S3.

У інтерактивному режимі цю задачу можна вирішити таким чином: gap> S:=symmetricgroup(3); # початкова група Sym( [ 1 .. 3 ] ) gap> g:=aslist(S); # список її елементів [ (), (2,3), (1,2), (1,2,3), (1,3,2), (1,3) ] gap> m:=combinations(g,2); # всілякі неврегульовані пари [ [ (), (2,3) ], [ (), (1,2) ], [ (), (1,2,3) ], [ (), (1,3,2) ], [ (), (1,3) ], [ (2,3), (1,2) ], [ (2,3), (1,2,3) ], [ (2,3), (1,3,2) ], [ (2,3), (1,3) ], [ (1,2), (1,2,3) ], [ (1,2), (1,3,2) ], [ (1,2), (1,3) ], [ (1,2,3), (1,3,2) ], [ (1,2,3), (1,3) ], [ (1,3,2), (1,3) ] ] gap> Length(m); # всього 15 пар елементів 15 gap> Filtered(m, t -> S=subgroup(S,t)); # відбираємо ті пари, які породжують всю групу [ [ (2,3), (1,2) ], [ (2,3), (1,2,3) ], [ (2,3), (1,3,2) ], [ (2,3), (1,3) ], [ (1,2), (1,2,3) ], [ (1,2), (1,3,2) ], [ (1,2), (1,3) ], [ (1,2,3), (1,3) ], [ (1,3,2), (1,3) ] ] gap> Length(last); # залишилося тільки 9 пар елементів 9

При розробці функції аналогічного призначення можна організувати подвійний перебір елементів групи для того, щоб більш оптимально витрачати пам'ять і не тримати в ній одночасно весь список всіх неврегульованих пар елементів групи (ще одне спрощення може бути отримане виключенням з розгляду нейтрального елементу групи - зробіть це самостійно). Така функція виглядатиме таким чином: Findgeneratingpairs:=function(G) local g, n, i, j, s; g := Aslist( G ); n := Size( G ); s := [ ]; for i in [ 1 .. n-1 ] do for j in [ i+1 .. n ] do if G = Subgroup( G [ g[i], g[j]] ) then Add(s [ g[i], g[j]]); fi; od; od; return s; end; Протестуємо її і перевіримо, що результат збігається з отриманим раніше:

gap> S:=symmetricgroup(3); Sym( [ 1 .. 3 ] ) gap> Findgeneratingpairs(S); [ [ (2,3), (1,2) ], [ (2,3), (1,2,3) ], [ (2,3), (1,3,2) ], [ (2,3), (1,3) ], [ (1,2), (1,2,3) ], [ (1,2), (1,3,2) ], [ (1,2), (1,3) ], [ (1,2,3), (1,3) ], [ (1,3,2), (1,3) ] ]

Відмітьте, що будь-яка 2-елементна підмножина групи S3, що не рівна { (1 2 3), (1 3 2) } і не містить тотожної підстановки, породжує всю групу S3.

Завдання для лабораторної роботи № 7

Варіант 1. Розробити функцію для безпосередньої перевірки того, що задана група є комутативною, шляхом перемножування всіляких пар її елементів, що породжують. Вказівка: використовувати функцію Generatorsofgroups

Варіант 2. Розробити функцію для перевірки того, що знакозмінна група An породжується всілякими циклами довжини 3, і перевірити з її допомогою дане твердження для всіх n, що не перевершують 7.

Варіант 3. Розробити функцію, яка повертає безліч елементів заданої групи, що мають порядок, рівний заданому числу до. Вказівка: використовувати функції Aslist, Order

Варіант 4. Розробити функцію, яка повертає безліч порядків елементів заданої групи. Вказівка: використовувати функції Aslist, Order, Set

Варіант 5. Перевірити, чи виконується в групі підстановок S3 тотожність ((x,y),z)=1, де (а,b) = a-1b-1ab

^{Варіант 6. Відомо, що при парному n>4 знакозмінна група An породжується двома підстановками: (1 2)(n-1 n) і (1 2 . n-1). Перевірити це твердження для всіх n, що не перевершують 10.}

^{Варіант 7. Перевірити, чи виконується в групі підстановок S3 тотожність x6=1.}

^{Варіант 8. Перевірити, що знакозмінна група A5 породжується підстановками (2 5 4) і (1 2 3 4 5). Варіант 9. Перевірити, чи виконується в групі підстановок S3 тотожність (x2,y2)=1, де (а,b) = a-1b-1ab}

^{Варіант 10. Відомо, що при непарному n>5 знакозмінна група An породжується двома підстановками: (1 n)(2 n-1) і (1 2 . n-2). Перевірити це твердження для всіх n, що не перевершують 10.}

^{Варіант 11. Перевірити що група підстановок Sn породжується транспозицією (1 2) і циклом (1 2 . n), для всіх n, що не перевершують 10.}

^{Варіант 12. Розробити функцію, яка повертає безліч порядків класів зв'язаних елементів заданої групи. Вказівка: використовувати функцію Conjugacyclasses Варіант 13. Розробити функцію, яка для заданої кінцевої групи визначає безліч індексів циклічних підгруп, що породжуються її елементами.}

^{Варіант 14. Розробити функцію, що друкує для заданого натурального n таблицю Келі для симетричної групи Sn.}

^{Варіант 15. Розробити функцію, яка обчислює підгрупу заданої p-группы, породжену р-ми ступенями її елементів.}

^{Варіант 16. Розробити функцію, яка обчислює підгрупу заданої p-группы, породжену всіма її елементами порядку р.}

^{Варіант 17. Розробити функцію для обчислення показника (експоненти) кінцевої групи як найменшого загального кратного порядків представників класів зв'язаних елементів даної групи. Вказівка: використовувати функцію Conjugacyclasses}

^{Варіант 18. Розробити функцію для обчислення кількості елементів кожного порядку в заданій групі.}