4.4 Інші види підгруп

Тепер покажемо, як знайти стабілізатор деякого елементу множини, на якій діє група підстановок. Як видно з наступного прикладу, стабілізатором одиниці є підгрупа близько 2520 і індексу 8, породжена п'ятьма підстановками:

gap> stab:= Stabilizer( a8, 1 ); Group([ (2,4,3), (3,5,4), (3,4)(5,6), (2,7,5,4,3), (2,8,6,5,4) ]) gap> Size(stab); 2520 gap> Index(a8,stab); 8

За допомогою функції Random отримаємо випадковий елемент з a8:

gap> x:=random( a8 ); (1,5,8,2,4)(3,6,7)

Нові підгрупи можуть бути тепер отримані шляхом пошуку його централізатора, а потім комбінацій сполучення і перетину вже відомих підгруп.

gap> x:=random(a8); (1,5,8,2,4)(3,6,7) gap> cent:=centralizer(a8,x); Group([ (3,6,7), (1,2,5,4,8) ]) gap> Size(cent); 15 gap> conj:= Conjugatesubgroup( cent (2,3,4) ); Group([ (4,6,7), (1,3,5,2,8) ]) gap> inter:= Intersection( cent, conj ); Group(())

У наступному прикладі ми обчислимо підгрупу групи a8, потім її нормалізатор і у результаті визначимо структуру факторгруппи. Спочатку створимо елементарну абельову підгрупу близько 8:

gap> elab := Group( (1,2)(3,4)(5,6)(7,8), (1,3)(2,4)(5,7)(6,8), > (1,5)(2,6)(3,7)(4,8) );; gap> Size( elab ); 8 gap> Iselementaryabelian( elab ); true

Тепер привласнимо їй ім'я і обчислимо її нормалізатор:

gap> Setname( elab, "2^3" ); elab; 2^3 gap> norm := Normalizer( a8, elab );; Size( norm ); 1344

4.5 Факторгруппи

Тепер ми маємо підгрупу norm близько 1344 і її підгрупу elab, і бажаний побудувати факторгруппу. Оскільки ми також жедаєм знайти прообрази елементів факторгруппи в norm, нам також знадобиться природний гомоморфізм з norm у факторгруппу з ядром elab.

gap> hom := Naturalhomomorphismbynormalsubgroup( norm, elab ); <action epimorphism> gap> f := Image( hom ); Group([ (), (), (), (4,5)(6,7), (4,6)(5,7), (2,3)(6,7), (2,4)(3,5), (1,2)(5,6) ]) gap> Size( f ); 168

Отримана факторгруппа f також є групою підстановок. Проте множина, на якій вона діє, не має нічого спільного з множиною крапок, на якому діє norm (це просто збіг, що обидві множини є підмножинами безлічі натуральних чисел). Тепер ми можемо знайти образи і прообрази щодо природного гомоморфізму. Безліч прообразів елементу є суміжним класом по підгрупі elab. Ми використовуємо функцію Preimages, оскільки hom не є взаємно однозначним відображенням.

gap> ker:= Kernel( hom ); 2^3 gap> x := (1,8,3,5,7,6,2);; Image( hom, x ); (1,7,5,6,2,3,4) gap> coset := Preimages( hom, last ); Rightcoset(2^3(2,8,6,7,3,4,5))

Відмітьте, що GAP може вибирати будь-який з представників суміжного класу прообразів. Звичайно ж, приватне двох представників одного суміжного класу лежить в ядрі гомоморфізму:

gap> rep:= Representative( coset ); (2,8,6,7,3,4,5) gap> x * rep^-1 in ker; true

Факторгруппа f є простою групою, тобто вона не має нетривіальних нормальних підгруп:

gap> Issimple( f ); true

Група norm діє на 8 елементах своєї нормальної підгрупи elab за допомогою сполучення, що приводить до представлення групи f в S8, що залишає нерухомою тільки крапку 1. Образ цього уявлення може бути обчислений за допомогою функції Action; більш того, він навіть содежітся в групі norm, і ми можемо показати, що norm насправді є расщепімим розширенням елементарної абельовой групи elab за допомогою групи f.

gap> op := Action( norm, elab ); Group([ (), (), (), (5,6)(7,8), (5,7)(6,8), (3,4)(7,8), (3,5)(4,6), (2,3)(6,7) ]) gap> Issubgroup( a8, op ); Issubgroup( norm, op ); true true gap> Istrivial( Intersection( elab, op )); true

Примітка. Не можна використовувати знак "<" замість Issubgroup. Так, не приводить до помилки команда:

gap> elab < a8; false

Оператор же рівності "=" фактично перевіряє рівність груп. 4.6 Класи зв'язаних елементів

Іншим джерелом інформації про групу a8 буде її розбиття на класи зв'язаних елементів. Отримаємо список класів зв'язаності:

gap> ccl:=conjugacyclasses(a8); [ ()^G, (1,2)(3,4)^G, (1,2)(3,4)(5,6)(7,8)^G, (1,2,3)^G, (1,2,3)(4,5)(6,7)^G, (1,2,3)(4,5,6)^G, (1,2,3,4)(5,6)^G, (1,2,3,4)(5,6,7,8)^G, (1,2,3,4,5)^G, (1,2,3,4,5)(6,7,8)^G, (1,2,3,4,5)(6,8,7)^G, (1,2,3,4,5,6)(7,8)^G, (1,2,3,4,5,6,7)^G, (1,2,3,4,5,6,8)^G ] gap> Length(last); 14

Тепер визначимо порядки представників класів зв'язаності, узявши в кожному класі по одному представникові:

gap> reps:= List( ccl, Representative ); [ (), (1,2)(3,4), (1,2)(3,4)(5,6)(7,8), (1,2,3), (1,2,3)(4,5)(6,7), (1,2,3)(4,5,6), (1,2,3,4)(5,6), (1,2,3,4)(5,6,7,8), (1,2,3,4,5), (1,2,3,4,5)(6,7,8), (1,2,3,4,5)(6,8,7), (1,2,3,4,5,6)(7,8), (1,2,3,4,5,6,7), (1,2,3,4,5,6,8) ] gap> List( reps, r -> Order( r )); [ 1, 2, 2, 3, 6, 3, 4, 4, 5, 15, 15, 6, 7, 7 ]

Визначимо, скільки елементів міститься в кожному класі:

gap> List(ccl,size); [ 1, 210, 105, 112, 1680, 1120, 2520, 1260, 1344, 1344, 1344, 3360, 2880, 2880 ]

Примітка: слід розрізняти функції Order (порядок елементу), Size (порядок групи, класу зв'язаності і тому подібне) і Length (довжина списку).

Побудувавши класи зв'язаних елементів, ми можемо розглядати їх функції, тобто відображення, що набувають однакових значень на всьому класі зв'язаних елементів. Прикладом може бути число нерухомих крапок:

gap> nrfixedpoints:= function( perm, support ) > return Number( [1 .. support], x -> x^perm = x); > end; function( perm, support )... end

Обчислимо його для групи a8:

gap> permchar1:= List(reps, x->nrfixedpoints(x,8)); [ 8, 4, 0, 5, 1, 2, 2, 0, 3, 0, 0, 0, 1, 1 ]

[Попередній розділ <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\3-data.htm> ][Зміст <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\metgap43.htm> ][Наступний розділ <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\refs.htm> ]