Лабораторна робота № 6. Циклічні програми (цикл while). Підстановки

Дана лабораторна робота призначена для вивчення оператора циклу WHILE на прикладі роботи з підстановками.

Докладні відомості по даних темах містяться: - в розділі "Мова програмування GAP" <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\2-lang.htm> даної методичної допомоги (див. п.2.11); - в розділах "Підстановки в системі GAP" <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\tppmsgs\msgs0.htm> і "Алгоритм множення підстановок" <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\tppmsgs\msgs0.htm> учбових матеріалів до курсу алгебри і теорії чисел; - в розділі "Permutations" довідкового керівництва за системою GAP <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\tppmsgs\msgs0.htm>.

Приклад: Розробити функцію, яка визначає порядок заданої підстановки, визначаючи мінімальний ступінь, в який потрібно її звести, щоб отримати тотожну підстановку.

Дане завдання вирішується за допомогою наступної функції: Orderofpermutation:=function(s) local до, t; k:=1; t:=s; while t <> () do t:=t*s; k:=k+1; od; return до; end; Ім'я функції Orderofpermutation було вибране так, щоб воно не збігалося з ім'ям наявною в GAP стандартної функції Orderperm - інакше при її введенні було б отримано повідомлення про помилку, оскільки бібліотечні функції захищені від перевизначення користувачем.

Після введення даної програми протестуємо її на різних підстановках: gap> Orderofpermutation( () ); 1 gap> Orderofpermutation( (1,2) ); 2 gap> Orderofpermutation( (1,2,3) ); 3 gap> Orderofpermutation( (1,2,3)(4,5) ); 6

Відмітимо, що порядок підстановки дорівнює найменшому загальному кратному довжин незалежних циклів в її розкладанні (див. останній приклад), і використання цього факту дозволило б ефективніше знайти порядок підстановки, уникнувши її піднесення до ступеня. Тому даний приклад застосовний тільки в учбових цілях. Порівняємо швидкодію нашої функції із стандартною: gap> for i in [1..1000] do > k:=orderperm( (1,2,3,4,5)(6,7,8)(9,10)(11,12,13,14,15)(16,17,18) ); > od; gap> time; 384 gap> for i in [1..1000] do > k:=orderofpermutation( (1,2,3,4,5)(6,7,8)(9,10)(11,12,13,14,15)(16,17,18) ); > od; gap> time; 743 Таким чином, ми бачимо, що стандартна функція ефективніша.

Отримаємо за допомогою нашої функції список порядків всіх елементів симетричної групи підстановок третього ступеня: gap> List( Symmetricgroup(3), Orderofpermutation ); [ 1, 2, 3, 2, 3, 2 ] Повторимо те ж саме для симетричної групи підстановок п'ятого ступеня, згрупувавши результати:

gap> Collected( List( Symmetricgroup(5), Orderofpermutation )); [ [ 1, 1 ], [ 2, 25 ], [ 3, 20 ], [ 4, 30 ], [ 5, 24 ], [ 6, 20 ] ]

Таким чином, в ній 25 елементів другого порядку, 20 - третього, 30 - четвертого, 24 - п'ятого, і 20 - шостого порядку. Завдання для лабораторної роботи № 6

Примітка: необхідно розробити власну функцію з обов'язковим застосуванням циклу WHILE, незалежно від того, чи вирішується завдання прямим застосуванням стандартної функції системи GAP чи ні.

Варіант 1. Розробити функцію, яка для заданої підстановки s визначає мінімальне натуральне число до, таке що sk комутує із заданою підстановкою t.

Варіант 2. Розробити функцію, яка для заданої підстановки s визначає мінімальне натуральне число до, таке що sk переводить задане натуральне число n в задане натуральне число m, і повертає fail, якщо такого числа до не існує.

Варіант 3. Розробити функцію, яка для заданої підстановки s визначає мінімальне натуральне число до, яке вона залишає на місці.

Варіант 4. Розробити функцію, яка для заданої підстановки s визначає мінімальне натуральне число до, таке що sk залишає на місці задане натуральне число n.

Варіант 5. Розробити функцію, яка для заданої підстановки s визначає мінімальне натуральне число до, таке що кількість натуральних чисел, переміщуваних підстановкою sk, не перевершує заданого натурального числа n.

Варіант 6. Розробити функцію, яка для заданої підстановки s визначає мінімальне натуральне число до, таке що sk залишає на місці одиницю.

Варіант 7. Розробити функцію, яка для заданої підстановки s визначає мінімальне натуральне число до, таке що sk комутує з підстановкою ( 1 2 ).

Варіант 8. Розробити функцію, яка для заданої підстановки s визначає мінімальне натуральне число до, таке що sk переводить 1 в 2, і повертає fail, якщо такого числа до не існує. Варіант 9. Розробити функцію, яка для заданої підстановки s обчислює орбіту числа 1, тобто безліч всіх чисел, в які одиницю можна перевести за допомогою деякої міри sk початкової підстановки.

Варіант 10. Розробити функцію, яка для заданої підстановки s визначає мінімальне натуральне число до, таке що кількість натуральних чисел, переміщуваних підстановкою sk, не перевершує 5.

Варіант 11. Розробити функцію, яка для заданої підстановки s визначає мінімальне натуральне число до, таке що sk залишає на місці найбільше число, переміщуване даною постановкою.

Варіант 12. Розробити функцію, яка для заданої підстановки s визначає максимальне натуральне число до, таке що sk не комутує з підстановкою ( 1 2 ). Варіант 13. Розробити функцію, яка для заданої підстановки s визначає максимальне натуральне число до, таке що кількість натуральних чисел, переміщуваних підстановкою sk, перевершує задане натуральне число n, і повертає fail, якщо такого числа до не існує.

Варіант 14. Розробити функцію, яка для заданої підстановки s обчислює орбіту найменшого числа, переміщуваного даною підстановкою, тобто безліч всіх чисел, в які його можна перевести за допомогою деякої міри sk початкової підстановки.

Варіант 15. Розробити функцію, яка для заданої підстановки s повертає безліч орбіт чисел, переміщуваних даною підстановкою.

Варіант 16. Розробити функцію, яка для заданої підстановки s визначає мінімальне натуральне число до, таке що sk залишає на місці найменше число, переміщуване даною постановкою.

Варіант 17. Розробити функцію, яка для заданої підстановки s обчислює орбіту найбільшого числа, переміщуваного даною підстановкою, тобто безліч всіх чисел, в які його можна перевести за допомогою деякої міри sk початкової підстановки.

Варіант 18. Розробити функцію, яка для заданої підстановки s визначає максимальне натуральне число до, таке що кількість натуральних чисел, переміщуваних підстановкою sk, перевершує 5, і повертає fail, якщо такого числа до не існує.