6.4. Метод аксиоматизации

Аксиоматизация - метод дедуктивного построения теории некоторой научной дисциплины или ее раздела, когда ряд утвержде- ний принимается без доказательств (аксиомы или постулаты), а все остальное знание (леммы, теоремы, законы и др.) выводятся из них по определенным логическим правилам.

Аксиоматический метод впервые был успешно применен Евк- лидом для построения элементарной геометрии. В системе аксиом евклидовой геометрии за основные понятия приняты точка, прямая, плоскость, движение и отношения: точка лежит на прямой или на плоскости, точка лежит между двумя другими. Эта система аксиом (по акад. А.Д. Александрову) состоит из пяти групп: аксиомы соче- тания, аксиомы порядка, аксиомы движения, аксиомы непрерывно- сти, аксиомы параллельности. Так, например, группа сочетания включает в себя следующие аксиомы:

1. Через каждые две точки можно провести прямую и притом только одну.

2. На каждой прямой лежат, по крайней мере, две точки. Суще- ствуют хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой.

3. Через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну.

4. На каждой плоскости есть, по крайней мерс, три точки и су- ществует хотя бы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

5. Если две точки данной прямой лежат на данной плоскости, то и сама прямая лежит на этой плоскости.

6. Если две плоскости имеют обитую точку, то они имеют еще одну общую точку и, следовательно, общую прямую.

Однако со временем выяснилось, что аксиомы Евклида оказы- ваются верными не только для описания геометрических объектов. Известный немецкий математик и логик Д. Гильберт писал: «Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы на- зываем точками и обозначаем А, В, С,...; вещи второй системы мы называем прямыми и обозначаем а, в, с,...; вещи третьей системы мы называем плоскостями и обозначаем а, /3, у,...» (Гильберт Д. Ос- нования геометрии. - М., Л., 1948. - С. 56). А это значит, что под «точкой», «прямой» и «плоскостью» можно подразумевать любые системы объектов, свойства которых можно было бы описывать со- ответствующими аксиомами. Математик далее может их выразить соответствующими линейными уравнениями и формулами, интерпре-

п<>

тировать их с помощью физических объектов - состояний механиче- ских, физико-химических, технических, технологических систем.

Наибольшее применение абстрактные аксиоматические системы получили в математике, где вместо оперирования числами, функция- ми, линиями, поверхностями, векторами и т.д. рассматривают раз- личное множество абстрактных объектов, свойства которых точно формулируются с помощью аксиом. В естественных науках, исполь- зующих стабильные понятия, сложившийся уровень знания и его ма- тематизацию, в качестве примера аксиоматики служат теория элек- тромагнитного поля Д. Максвелла, эйнштейновская теория относи- тельности И Др.

Для успешного построения аксиоматической теории необхо- димо выполнить минимум следующих важных требований:

1. Требование непротиворечивости, согласно которому в систе- ме аксиом не должны быть выводимы одновременно какое-либо предложение и его отрицание.

2. Требование полноты, согласно которому любое предложение, которое можно сформулировать в данной системе аксиом, можно в ней доказать или опровергнуть.

3. Требование независимости аксиом, согласно которому любая аксиома не должна быть выводима из других аксиом, иначе она пере- водится в разряд теорем.

(Уместно здесь напомнить, что теорема (с грсч. - рассматри- ваю, обдумываю) - это утверждение, предложение, устанавливаемое при помощи доказательств; формула аксиоматической теории, выве- денная из аксиом на основе правил данной теории; обычно состоит из условия и заключения. Например, в теореме: если в треугольнике один из углов прямой, то два других острые, после слова «если» сто- ит условие, а после «то» - заключение. Вспомогательная теорема - лемма (с греч. - польза, предположение) применяется в целях обос- нования истинности другой теоремы).

Таким образом, независимо от природы отражаемых объектов аксиоматизация научных знаний через систему, во-первых, основных понятий, во-вторых, выбранных исходных утверждений в форме ак- сиом (постулатов), в-третьих, заранее сформулированных правил де- дуктивного вывода теорем из аксиом, позволяет организовать объ- ектное знание в компактные аксиоматические теории.

Отсюда видно, что метод аксиоматизации реализуется через следующие переходы:

100

1. Точное определение и формулировка системы исходных ос- новных понятий некоторой содержательной концепции.

2. Образование из принятых понятий некоторого минимума ак- сиом (постулатов). В естественнонаучных теориях в роли постулатов выступают главные принципы, основные законы, фундаментальные факты, базисные гипотезы и др.

3. Формулировка системы правил вывода новых знаний из при- нятого множества аксиом или постулатов.

4. Преобразование по принятым правилам ограниченного числа аксиом или постулатов в теоремы или законы.

Современный аксиоматический метод стремится к предельному абстрагированию аксиом и постулатов. «Дальнейший шаг на пути от- влечения от содержания аксиом связан с их символическим представ- лением в виде формул, а также точным заданием тех правил вывода, которые описывают, как из одних формул (аксиом) получаются дру- гие формулы (теоремы). В результате этого содержательные рассуж- дения с понятиями на такой стадии исследования превращаются в не- которые операции с формулами по заранее предписанным правилам. Иначе говоря, содержательное мышление отображается здесь в ис- числении. Аксиоматические системы подобного рода часто называют формализованными синтаксическими системами, или исчислениями» (Рузавин Г. И. Методы научного исследования. - М., 1974. С. 228).

Как видно, аксиоматический метод не только обеспечивает вы- сокий уровень организации научного знания, но и максимально ра- ционализирует научное исследование. Группа французских матема- тиков 30-х годов XX века под псевдонимом «Никола Бурбаки», по- ставившая своей целью рассмотреть различные математические тео- рии с позиций формального аксиоматического метода, писала, что «аксиоматический метод является не чем иным, как «системой Тей- лора» в математике» (Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М., 1963. - С. 253). Однако, чтобы научное исследование поставить на конвейер или передать компьютеру, который в автоматическом режиме из фиксированных исходных положений и правил вывода следствий из аксиом в форме различных вариантов новых теорем и законов, необходимо в первую очередь этот процесс максимально формализовать.

101