1. Метод непосредственного ранжирования;

2. Метод парных сравнений.

В первом случае эксперта сразу присваивают ранги фактором, которые представлены для ранжирования. Второй метод использует парное ранжирование факторов, что упрощает задачу эксперта, но требует дальнейшей обработки доля получения ранжированного ряда.

3. Метод непосредственного ранжирования

П усть N экспертов ранжируют n факторов. Каждому фактору каждый эксперт присваивает ранг – целое число от 1 до n. Так, i-му фактору j-й эксперт присваивает ранг k_ij. В результате получается матрица N Х n мнений экспертов

где номера строк соответствуют номерам экспертом, а номера столбец – номером ранжируемых факторов. Это означает что j-я строка представляет собой имени j-го эксперта, а i-й столбец – мнений всех экспертов по поводу i-го фактора.

При назначении рангов экспертами нужно соблюдать следующие условия:

1. Сумма рангов, назначенных всем факторам, должна быть одинакова для каждого эксперта и равна:

Это означает, что сумма элементов любой строки матрицы (4)

2. Если эксперт какие-то q факторов считает одина­ковыми, то он присваивает им один ранг. Этот ранг равен .среднему из q целых рангов, которые получены при условии, что эксперту удалось их проранжировать. Например, равноценность четырех факторов (q=4):

x₁,x₂,x₃,x₄, стоящих на пятом месте в ранжированном ряду, приводит к тому, что их ранги равны:

Как видно, в этом случае ранги могут быть дробны­ми. Как легко убедиться, дробные ранги кратны 1/2.

Для определения результирующих рангов следует вычислить средние ранги каждого фактора

Эти ранги и дают возможность проранжировать факторы. На первом месте ставится фактор, имеющий минимальный средний ранг

т. е. фактор x_l , на втором — фактор, имеющий следую­щий по малости средний ранг, и т. д. Полученные ранги позволяют построить ранжированный ряд факторов, который и будет осредненным мнением коллектива из N экспертов.

Очевидно, что далеко не всякий результат эксперт­ного опроса следует считать удовлетворительным. Дей­ствительно, если эксперты сильно противоречат друг другу (например, половина экспертов фактору x_i при­своила первый ранг, а другая половина—последний), то такое ранжирование не может быть положено в основу решающих процедур. Поэтому для оценки всякого экс­пертного опроса вводится критерий, характеризующий согласованность экспертов. Чем выше эта согласован­ность, тем более можно “верить” результатам эксперт­ного опроса, и наоборот.

Согласованность экспертов удобно определять как степень рассеяния средних рангов . Дей­ствительно, если эксперты полностью согласованы, то средние ранги представляют собой целые, не равные друг другу числа (случай одинаковых рангов пока не рассматриваем).

Если же эксперты полностью не согласованы, то средние ранги примерно равны (п+1)/2. В промежуточном случае (при частично согласованных экспертах) ранги сгруппируются вокруг среднего значения (п+1)/2.

Вычислим дисперсию средних рангов. Она, по опре­делению, равна:

где

– математическое ожидание среднего ранга. Опреде­лим максимальную дисперсию (она бывает при пол­ностью согласованных экспертах)

Критерий согласованности экспертов удобно пред­ставить в виде отношения

Легко заметить, 0≤W≤1. При W=0 эксперты пол­ностью несогласны, а при W=l они высказываются как один, т. е. единогласно. Таким образом, значение W ха­рактеризует степень согласованности экспертов.

Чем ближе W к единице, тем более единодушны эксперты и тем более достоверен результат ранжирования. (Сле­дует отметить, что эксперты должны высказывать свое мнение независимо друг от друга, т. е. до ранжирования они -не должны знать мнение других экспертов. В про­тивном случае возможно появление корреляции мнений, что повышает критерий согласованности W, хотя в дей­ствительности эксперты не столь единодушны).

Для того чтобы знать, велико или мало конкретное значение критерия согласованности, который никогда не бывает равным ни нулю, ни единице, можно 'предло­жить следующий подход. Предположим, что т из N экспертов абсолютно компетентны, а остальные N—т совершенно некомпетентны, т. е. принимают свое реше­ние чисто случайно (хотя такого, как правило, не бы­вает). Тогда дисперсия средних рангов

Разделив все на D_макс, получим:

W=m/N.

Это значит, что W выражает долю абсолютно компе­тентных экспертов. Так, при W=0,3 можно считать, что 30% экспертов были вполне компетентны, а остальные 70% принимали свое решение случайно, что, естествен­но, могло оказать роковое влияние на окончательную ранжировку (а могло и не оказать!).

Отсутствие согласованности мнений экспертов может иметь двоякое объяснение. Во-первых, это возможно из-за некомпетентности экспертов, связанной с новизной или слабой изученностью объекта идентификации. Во-вторых сложность объекта затрудняют эксперта в ответах о рангах факторов. Эксперту в этом случае проще сопоставить важность некоторых факторов по­парно, т. е. указать, чей ранг одного из двух факторов будет больше. Именно в таких ситуациях обращаются к методу парных сравнений, который мы и рассмотрим ниже.

Контрольные вопросы

1. Какие задачи структурной идентификация вы знаете?

2. Что понимается под ранжированием входов и выходов объекта?

3. В чем заключается сущность метода непосредственного ранжирования?

Литература

Лекция 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ СТРУКТУРНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ (2 часа)

План

1. Метод парных сравнений

2. Определение рационального числа входов и выходов объекта, учитываемых в модели

3. Определение характера связи между входом и выходом модели объекта

1. Метод парных сравнений

Эксперту предлагается проранжировать факторы по­парно, т. е. каждой паре факторов х_i и x_l поставить в соответствие число q_il:

где знак “ ” обозначает предпочтительность. Так, вы­ражение х_i x_l следует читать: “i-й фактор более пред­почтителен при ранжировании, чем l-и”. Знак ~ явля­ется знаком эквивалентности факторов с точки зрения ранжирования. Числа q_il обладают очевидным свой­ством

q_il + 0 = q_il.

Таким образом, каждый (j-и) эксперт свое мнение представляет в виде таблицы п×п (табл. 1)

или

где верхний индекс определяет номер эксперта.

Таблица 2-1

	x1	X2	. . .	xn
x1	0	qj12	. . .	qj1n
x2	qj21	0	. . .	qj2n
. . .	. . .	. . .	. . . . . . . . .	. . .
xn	qjn1	qjn2	. . .	0

Осредним мнение экспертов. Для этого достаточно построить осредненную таблицу (n×n)

где

— среднее предпочтение i-го фактора перед l-м. Это и есть мнение экспертов. Определим согласованность экс­пертов. В качестве меры согласованности аналогично предыдущему естественно выбрать дисперсию величин . В силу того, что среднее значение равно нулю, для дисперсии получаем:

где суммирование производится по всей таблице . Максимальное значение дисперсии будет иметь место при полной согласованности экспертов и равно:

Тогда, вводя критерий согласованности как отноше­ние дисперсии средних предпочтений к максимальной дисперсии, получаем:

Однако эксперты могут противоречить. Примером такой таблицы может служить табл. 2, где проти­воречие имеет вид , т.е. оказалось что и одновременно.

Таблица 2

	x1	x2	x3
x1	0	1	-1
x2	-1	0	1
x3	1	-1	0

Выявление подобных противоречий совершенно не­обходимо не только в осредненной таблице, но и в мне­нии каждого эксперта. Это можно сделать на основе. следующего, довольно очевидного правила, которое на­зывается правилом транзитивности.

Для предпочтений оно имеет вид:

если х₁ х₂ и x₂ х₃, то х₁ х₃. (5)

Для эквивалентности:

если х₁ ~ х₂ и x₂ ~ х₃, то х₁ ~ х₃

Таблицы, представляющие собой мнение каждого эксперта, должны удовлетворять указанной транзитив­ности и при обнаружении противоречий возвращаются соответствующему эксперту для разрешения отмечен­ных противоречий.

Для определения рангов ранжируемых факторов следует определить правило назначения рангов по таб­лице Q. Таких правил может быть много. Рассмотрим два из них,

Правило 1. Определим суммарные предпочтения каж­дого фактора

Естественно считать, что первый ранг имеет фактор, суммарное предпочтение которого максимально, т. е. при

первый ранг имеет фактор x_z, т. е. k_z=1. Аналогично образуются ранги остальных факторов.

Рассмотренное правило, однако, излишне осредняет предпочтения. Так, фактор, имеющий ряд явных пред­почтений, которые легко обнаруживают эксперты, полу­чит первый ранг только потому, что его второстепенность по отношению к другим факторам будет не столь ярко выражена. Именно в этом случае часто приходит­ся обращаться к другому правилу.

Правило 2. Основная мысль этого правила опирает­ся на идею усиления контраста. Для этого вводится по­рог δ. Если предпочтение выше этого порога, то оно имеет явный характер, а если ниже, то оно сомнительно, т. е. больше соответствует эквивалентности. Получаем следующее преобразование матрицы средних предпочте­ний в контрастную матрицу U, которую легко преоб­разовать в ранжированный ряд:

где

Как видно, это преобразование целиком и пол­ностью определяется порогом δ (0<δ<1). При δ=1 контрастная матрица U становится нулевой и все фак­торы эквивалентны. При δ=0 она полностью заполняет­ся единицами, но при этом почти неизбежно появление противоречий в виде нарушений транзитивности пред­почтений (5).

Поэтому при выборе порога δ следует помнить, что его увеличение приводит к отказу от ранжирования, а уменьшение—к увеличению числа явных предпочте­нии и к опасности появления противоречий.

Одной из возможных рекомендаций по определению оптимального порога является выбор порога δ на “по­роге противоречий”, т. е. такого значения δ, незначи­тельное уменьшение которого приводит к противоречиям.