3. Разработка математической модели

Обобщенные модели. Концептуальная модель и количественные исходные данные служат основой для разработки математической модели. Создание математической модели преследует две основные цели: 1) дать формализованное описание структуры и процесса функционирования системы для однозначности их понимания; 2) попытаться представить процесс функционирования в виде, допускающем аналитическое исследование системы.

Разработка единой методики создания математических моделей, очевидно, не представляется возможной. Это обусловлено большим разнообразием классов систем. Системы могут быть статические и динамические, со структурным или программным управлением, с постоянной или переменной структурой, с постоянным (жестким) или сменным (гибким) программным управлением. По характеру входных воздействий и внутренних состояний системы подразделяются на непрерывные и дискретные, линейные и нелинейные, стационарные и нестационарные, детерминированные и стохастические. При исследовании ВС может быть получено такое же разнообразие моделей в зависимости от ориентации, а также от степени стратификации и детализации.

Для определенных классов систем разработаны формализованные схемы и математические методы, которые позволяют описать функционирование системы, а в некоторых случаях—выполнять аналитические исследования.

Средствами формализованного описания процессов функционирования систем с программным принципом управления служат определенные языки и системы имитационного моделирования. Некоторые из них описаны в книге.

Агрегативные системы. Одной из наиболее общих формализованных схем является описание в виде агрегативных систем. Этот метод позволяет представить функционирование непрерывных и дискретных, детерминированных и стохастических систем. Он в наибольшей мере приспособлен для описания систем, у которых характерно представление входных и выходных воздействий в виде «сообщений», составленных из совокупностей «сигналов».

В основе метода лежит понятие агрегата как элемента системы. Математическая модель агрегата выражается в виде зависимостей с конкретизацией входных воздействий, состояний и операторов переходов и выходов. В частности, выделяют особые состояния агрегата, к которым относятся состояния в моменты получения входного или управляющего сигнала либо выдачи выходного сигнала. Из особого состояния агрегат скачкообразно может переходить в новое состояние. Агрегативная система образуется при расчленении системы на элементы, каждый из которых представляет собой агрегат.

Единообразное математическое описание исследуемых объектов в виде агрегативных систем позволяет использовать универсальные средства имитационного моделирования.

Кусочно-линейные агрегаты. Дальнейшая конкретизация структуры пространств состояний, входных и выходных воздействий, а также операторов переходов и выходов приводит к понятию кусочно-линейных агрегатов, удобных для формализации широкой совокупности разнообразных процессов и явлений материального мира. В основе подхода лежит кусочно-линейный закон изменения состояния системы, что обеспечивает простоту вычисления опорных моментов времени и, как следствие, простоту реализации модели кусочно-линейного агрегата и системы, составленной из таких агрегатов. В частных случаях для кусочно-линейных агрегативных систем результаты могут быть получены аналитическим методом.

Совместно с формализованным описанием системы в виде совокупности кусочно-линейных агрегатов может применяться метод управляющих последовательностей. Суть метода заключается в том, что функционирование системы определяется управляющими последовательностями, которые имеют определенный физический смысл, а также алгоритмами, описывающими управление системой с помощью введенных последовательностей. Управляющие последовательности и алгоритмы позволяют составлять рекуррентные соотношения для описания функционирования кусочно-линейного агрегата.

Стохастические сети. Для описания стохастических систем с дискретными множествами состояний, входных и выходных воздействий, функционирующих в непрерывном времени, широко используются стохастические сети. Стохастическая сеть представляет собой совокупность систем массового обслуживания, в которой циркулируют заявки, переходящие из одной системы в другую.

Большая группа языков имитационного моделирования основана на формализованном представлении систем в виде стохастических сетей. При определенных условиях стохастическая сеть может рассматриваться как совокупность независимых систем массового обслуживания. Это открывает возможность применения достижений теории массового обслуживания для проведения аналитического моделирования.

Системы массового обслуживания. В основе системы массового обслуживания лежит понятие прибора, который может выполнять конечное множество операций. Прибор выполняет операцию, когда возникает заявка — требование на выполнение операции. Если прибор выполняет любую операцию, то считается, что он занят (работает), в противном случае прибор свободен. Ограничение числа состояний прибора приводит к большей степени абстрактности, чем понятие агрегата.

Временная последовательность заявок называется потоком заявок. Общий поток заявок может состоять из нескольких потоков. В случаях независимости потоков, случайных моментов поступления или завершения обслуживания заявок в системе могут возникать очереди. Очередь — это заявки, ожидающие обслуживания, когда прибор занят. Прибор может состоять из нескольких элементов (каналов), каждый из которых способен обслужить любую заявку. Совокупность прибора, потоков заявок и очередей к нему называют системой массового обслуживания (СМО).

Теория массового обслуживания хорошо разработана. Поэтому она нашла широкое применение для создания математических моделей, в частности, при моделировании ВС. Применение теории марковских процессов и теории диффузионных процессов для исследования СМО при определенных ограничениях и допущениях позволило получить ряд важных аналитических зависимостей.

Непрерывные детерминированные системы. Если в модели системы не учитывается воздействие случайных факторов, а операторы переходов и выходов непрерывны (это означает, что малые изменения входных воздействий приводят к такого же порядка малым изменениям выходного воздействия и состояния системы), то состояния системы и выхода соответственно могут быть представлены в виде дифференциальных уравнений

(4)

(5)

где h, g — вектор функции состояний и выходов соответственно;

х, z, у — векторы входных воздействий, состояний и выходных воздействий соответственно.

В случае линейности таких систем, когда операторы переходов и выходов обладают свойствами однородности и аддитивности, вид уравнений (4) и (5) упрощается, что дает возможность аналитического решения или исследования известными методами с помощью вычислительных машин.

Построение математических моделей непрерывных линейных детерминированных систем в виде дифференциальных уравнений используется при анализе функционирования элементов и электрических цепей ВС.

Автоматы. Рассмотренные выше формализованные математические схемы применимы для систем, функционирующих в непрерывном времени. Системы, состояния которых определены в дискретные моменты времени получили название автоматов. Если за единицу времени выбран такт , то просто пишут: О, 1, 2, .... В каждый дискретный момент времени, за исключением <е> в автомат поступает входной сигнал х (t), под действием которого автомат переходит в новое состоя­ние в соответствии с функцией переходов

(6)

и выдает выходной сигнал, определяемый функцией выходов

(7)

Если автомат характеризуется конечными множествами состояний z, входных сигналов х и выходных сигналов у, он называется конечным автоматом. Функции переходов и выходов конечного автомата задаются таблицами, матрицами или графами.

Стохастические системы, функционирующие в дискретном времени, можно представлять вероятностными автоматами. Функция переходов вероятностного автомата определяет не одно конкретное состояние, а распределение вероятностей на множестве состояний, а функция выходов — распределение вероятностей на множестве выходных сигналов. Функционирование вероятностных автоматов изучается при помощи аппарата цепей Маркова. Для оценки характеристик систем, представляемых в виде автоматов, могут использоваться аналитические или имитационные методы.

Кроме приведенных математических схем для формализованного описания функционирования систем используются исчисление высказываний, тензорная алгебра, сети Петри, Е-сети и др..

Таким образом, построение математической модели предусматривает анализ концептуальной модели и исходных данных в целях выбора одной из подходящих формализованных схем, подбора необходимых множеств и конкретизации операторов. Если это не удается сделать для всей системы, то формализованные схемы могут быть применены для описания отдельных элементов, а вся система описывается с использованием программного или структурного подхода.