4. Апостериорная информация

Если априорная информация A имеет качественный характер, то апостериорная—количественный, т. е. ре­зультат (протокол) наблюдений входа и выхода объекта. Этот протокол имеет вид:

B=<X, Y>,

где X — результаты всех измерений 'входов объекта; Y – результаты этих измерений его выходов за тот же период наблюдений.

Для непрерывных объектов (A=αβγ0) имеем запи­си непрерывных данных X=X(t), Y=Y(t) в интервале 0≤t≤T. Таким образом, получаем:

B₀=(<X(t), Y(t)> ( 0 ≤ t ≤ T ).

Это означает, что поведение объекта зарегистрирова­но в виде n+m различных кривых: x₁(t), ..., x_n(t), y₁(t), ..., y_m(t) в этом интервале.

Заметим, что X и X(t) в данном случае не тождест­венны, так как X представляет собой всю зависимость Х(t) в заданном интервале, a X(t) может выражать только конкретное значение этой зависимости в момент t. Аналогична не тождественность Y и Y (t).

В дискретном случае (A=αβγl) имеем X=(X₁, .... X_N), Y= (Y₁, ..., Y_N) и протокол записывается в виде

B₁=(<X_i, Y_i> (i=1, ..., N)),

который представляет собой таблицу чисел из п+т столбцов и N строк:

B₁=

Очевидна преемственность этих двух форм записи. Так, .протокол B₁ может быть получен из B₀ путем фиксации дискретных моментов времени t=0, δ, 2δ, ..., (N—1) δ, где δ - интервал дискретности (δ=T/N).

(Заметим, что обратный переход возможен далеко не всегда.)

Таким образом двойка (1) достаточно полно харак­теризует объект для целей его идентификации. Она и будет использоваться при изложении соответствующих идей, методов и подходов идентификации.

Контрольные вопросы

1. Обшее представление объекта моделирования в виде многополюсника.

2. Априорная и апостериорная информация об объекте моделирования.

3. По каким признакам классифицируются объекты моделирования?

Литература

Лекция 5. ЗАДАЧА ИДЕНТИФИКАЦИИ (2 часа)

План

1. Постановка задачи идентификации.

2. Трудности идентификации

1. Постановка задачи идентификации.

Задачей идентификации является определение оператора F₀ объекта, т.е. построения такого оператора модели F, которой был определенном смысле близок к оператора объекта F₀ т.е.

FF₀ (1)

(Заметим, что указанная «близость» весьма относительно, так как оператора F₀ и F могут иметь разные структуру, могут быть сформулированы на разных языках и иметь разные число входов. Именно поэтому близость операторов непосредственно оценить трудно или просто невозможно, тем более что часто об операторе объекта F₀ мало что известно.) В связи с этим естественно оценивать близость операторов по их реакциям на одно и тоже входное воздействие Х , т.е. по выходом объекта Y(t)=F₀[X, E(t)] и модели Y^M=F(X). Степень близости этих реакций в каждый момент времени можно оценить, например, значением квадрата модуля разности векторов выхода:

, (2^’)

где векторов выхода модели.

В общем случае близость объекта и модели оценивается так называемой функцией невязки ρ. Это скалярная функция двух векторных аргументов – выходов объекта и модели:

, (3)

которая обладает следующими свойствами:

1. не отрицательна для любых Y(t) и Y^M (t), т.е.

ρ(Y(t), Y^M (t)) ≥ 0

2. равно нулю при Y(t) ≡ Y^M (t), т.е.

ρ(Y(t), Y^M (t))=0;

3. непрерывна и выпукла вниз по обоим аргументам, т.е.

(4)

ρ((1-λ)Y₁+λY₂, Y^M) ≤ (1-λ)ρ(Y₁, Y^M)+λρ(Y₂, Y^M) ρ(Y(1-λ)Y^M₁+λY^M₂) ≤ (1-λ)ρ(Y, Y^M₁)+λρ(Y, Y^M₂)

где 0 ≤ λ ≤ 1.

Говоря проще, эта функция всегда лежит ниже отрезка прямой , соединяющей две любые точки (Y₁, Y^M₁) и (Y₂, Y^M₂), где Y_i , Y^M _i – произвольные векторы . Удовлетворить этим требованиям не сложно. Так, соотношение (2') соответствует им. Именно оно и будет чаще всего применяться в дальнейшим.

Теперь сформулируем задачу идентификации. Она заключается в том, чтобы построит такой оператор модели F, которой бы реагировал на возмущение Х аналогично реакции объекта У . Реакция оператора модели на вход Х имеет вид:

У^М=F(X)