13. Равномерный закон распределения.

В некоторых задачах встречаются величины, о которых заранее известно, что из возможных значения лежат в пределах некоторого определенного интервала, причем в пределах этого интервала все значения СВ равновероятны.

Х~R(a,b) – СВ Х имеет равномерный закон распределения на отрезке [a,b] и все значения она принимает с одинак. вер-тью:

f(x)		1/(b-a), a≤x≤b,
		0, {x<a}U{x>b}

(b-a)c=1 → c=1/(b-a)

(кривая распределения)

Ф -я распределения СВ Х:

F(x) = P(X<x) =
F(x) =	0, x<a
	(x-a)/(b-a), x€[a;b]
	1, x>b

М(Х) = (a+b)/2

Мода Мо – любое число из [a;b]

D(X) = (b-a)²/12

Медиана Ме = (a+b)/2

Ассиметрия S_k = 0

Эксцесс Ex = -1,2 µ₄=(b-a)⁴/80.

Равномерность попадания в интервал: P(α<x<β) = (β-α)(b-a)

Данный закон используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов (ошибка округления числа до целого распределена равномерно на отрезке [-0.5;0.5], в ряде задач масс. обслуж-я, при статистич. моделир-и наблюдений.

14. Нормальный закон распределения. Функция Лапласа. Вывод формулы вероятности попадания случайной величины в заданный интервал. Основные характеристики распределения. Влияние параметров M(X) и D(X) на положение и форму кривой. Правило «3σ».

НЗР наиболее часто встречается на практике. Главная особенность состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения.

С умма большого числа независимых СВ, подчиненных каким угодно законам распределения, приближенно подчиняется нормальному закону и это будет тем точнее, чем больше величин суммируется. X~N(a,σ²)

Непрерывная СВ Х имеет НЗР (закон Гаусса) с параметрам a и σ², если ее плотность вероятности:

(горбик лев 1 и прав 2 – m₂>m₁, σ₁=σ₂)

(горбик выше 1 и ниже 2 - m₂=m₁, σ₁>σ₂)

НЗР СВ с параметрами a=0 и σ²=1, т.е. N(0;1) называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной (норм).

Сложность непосредственного нахождения функции распределения СВ, имеющей НЗР, по формуле

и вероятности ее попадания на некоторый промежуток по формуле связана с тем, что интеграл от функции Гаусса является «неберущимся» в элементарных функциях. Поэтому их выражают через функцию - функцию Лапласа, для которой составлены таблицы.

Свойства функции Лапласа:

1. Ф(х) – четная, т.е. Ф(-х)=Ф(х)

2. Ф(х) – монотонно возрастающая, причем при х→+∞ Ф(х)→1 (практически можно считать, что уже при x>4 Ф(х)~4)

Г еометрически функция Лапласа представляет собой площадь под стандартной нормальной кривой на отрезке [-x;x]:

Теорема. Функция распределения СВ Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(х) по формуле:

Свойства СВ, имеющую НЗР:

1. Вероятность попадания СВ Х в интервал [x₁;x₂] равна , где

; .Вывод данной формулы:

2. Вероятность того, что отклонение СВ Х от матожидания не превысит величину ∆>0 равна P(|X-a|≤∆)=Ф(t), где t=∆/σ.

Числовые характеристики:

M(X)=a D(X)= σ² µ_S=(S-1)*σ²*µ_S-2; µ_2S+1=0 (нечетные);

, µ₂=σ²=D(X); µ₄=3σ⁴; µ₆=15σ⁶.

Ассиметрия: А₁=µ₃/σ³=0

Эксцесс А₂=µ₄/σ⁴-3=0 –крутости по сравнению с нормальным.

« Правило трех сигм»: если СВ Х имеет нормальный закон распределения с параметрами а и σ², т.е. N(a;σ²), то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (a-3σ; a+3σ). Нарушение данного правила, т.е. отклонение нормально распределенной СВ Х больше, чем на 3σ, является событием практически невозможным, т.к. его вероятность весьма мала:

P(|X-a|>3σ) = 1 – P(|X-a|≤3σ) = 1 – 0,9973 = 0,0027.