23. Точечные оценки параметров распределения. Требования, предъявляемые к точечным оценкам. Оценки для м(х), d(X) и сдо.

Большинство практических задач, которые решает статистика, состоит в оценивании некоторого количественного признака генеральной совокупности (совокупности объектов, явлений или процессов, из которых производится выборка). Предположим, что исследователю удалось установить, какому именно закону распределения подчиняется изучаемый количественный признак. В этом случае необходимо оценить параметры, которыми определяется предполагаемое распределение. Например, если удалось установить, что количественный признак подчиняется показательному закону распределения вероятностей, тогда необходимо оценить параметр λ, которым определяется данное распределение.

Предположим, что имеются данные выборки, например, значения количественного признака x₁, x₂, …, x_n, полученные в результате n наблюдений. Будем рассматривать x₁, x₂, …, x_n как независимые СВ Х₁, Х₂, …, Х_n.

Статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения – это функция от наблюдаемых случайных величин.

Таким образом, определить статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения, значит, определить функцию от наблюдаемых СВ Х₁, Х₂, …, Х_n, которая дает приближ. значение оцениваемого параметра.

Для того чтобы статистические оценки θ_i можно было бы принять за оценки параметров θ_i, необходимо и достаточно, чтобы оценки θ_i удовлетворяли трем статистическим свойствам: несмещенности, состоятельности и эффективности.

θ_i называется несмещенной оценкой для параметра θ_i, если ее выборочное матожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности. М(θ_i) = θ_i, М(θ_i) – θ_i = φ_i, где φ_i, - это смещение оценки.

Смещенная оценка – это оценка параметра, чье матожидание не равно оцениваемому параметру, т.е. М(θ_i)≠θ_i, φ_i≠0.

θ_i является состоятельной оценкой для параметра θ_i, если она удовлетворяет закону больших чисел. Закон больших чисел гласит о том, что с увеличением выборки значение оценки θ_i стремится к значению параметра θ_i генеральной совокупности: Р(|θ_i – θ_i|<ε) → 1 при n → ∞.

Для определения состоятельности оценки достаточно выполнения двух условий:

1) φ_i=0 или φ_i→0 при n→∞ - смещение оценки равно нулю или стремится к нему при объеме выборки, стремящейся к бесконечности.

2) D(θ_i) →0 при n→∞ - дисперсия оценки параметра θ_i стремится к нулю при объеме выборки, стремящемся к бесконечности.

θ_i является эффективной оценкой для параметра θ_i, если статистическая оценка θ_i имеет наименьшую возможную дисперсию при заданном объеме выборки n.

Точечные оценки параметров распределения:

Рассмотрим выборку x=(x₁, x₂, …, x_n) значений генеральной совокупности Х. Пусть М(Х)=а, D(X)=σ² генеральная средняя и дисперсия совокупности.

В качестве оценки для М(Х) используется выборочная средняя (средняя арифметическая выборки): . Выборочная средняя является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней.

Для того, чтобы наблюдать рассеяние количественного признака значений выборки вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику – выборочную дисперсию.

В качестве оценки для D(Х) используется выборочная дисперсия: _. Вычисление дисперсии можно упростить, используя формулу: S²=x² - (x)².

Для характеристики рассеивания значений признака выборки вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой – средним квадратическим отклонением.

Выборочным средним квадратическим отклонением называют кв.корень из выборочной дисперсии: σ_x=√σ_x².

x является несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой для М(Х), причем σ_Х²=σ²/n.

M(S²)=(n-1)/n*D(X), т.е. оценка S² является смещенной. Чтобы избавиться от этого недостатка, для оценки неизвестной дисперсии генеральной совокупности пользуются исправленной несмещенной оценкой:

При больших n (n>30) неизвестные параметры в формулах для дисперсии можно заменить на их выборочные без особой погрешности.