25. Интервальные оценки. Доверительные интервалы.

Большинство практических задач, которые решает статистика, состоит в оценивании некоторого количественного признака генеральной совокупности (совокупности объектов, явлений или процессов, из которых производится выборка). Предположим, что исследователю удалось установить, какому именно закону распределения подчиняется изучаемый количественный признак. В этом случае необходимо оценить параметры, которыми определяется предполагаемое распределение. Например, если удалось установить, что количественный признак подчиняется показательному закону распределения вероятностей, тогда необходимо оценить параметр λ, которым определяется данное распределение.

Статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения – это функция от наблюдаемых случайных величин.

Существует оценка неизвестного параметра а одним числом. Такая оценка называется «точечной». Но в ряде задач требуется не только найти для параметра а подходящее значение, но и оценить его точность и надежность. Требуется знать – к каким ошибкам может привести замена параметра а его точечной оценкой и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за известные пределы. Для этого пользуются доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Пусть для параметра а получена несмещенная оценка . Мы хотим оценить возможную при этому ошибку. Назначим достаточно большую вероятность β (β=0,95 или 0,99) такую, что событие с вероятностью β можно считать практически достоверным, и найдем такое значение ε, для которого Р(| -а|<ε)=β  P( -ε < a < +ε)=β. Это означает, что с вероятностью β неизвестное значение а попадет в интервал I_β=( -ε; +ε). При этом величина не случайна, а случайен интервал I_β (случайно его положение на оси абсцисс, определяемое его центром I_β).

В этом случае β – доверительная вероятность, а интервал I_β – доверительный интервал. Границы интервала I_β: а₁= -ε и а₂= +ε – доверительные границы. Также доверительный интервал – интервал значений параметра а, совместимых с опытными данными и не противоречащих им.

Данные понятия мы использовали в одном из пунктов домашней контрольной работы. Нам было необходимо построить доверительные интервалы для матожидания с надежностью β=0,95 и β=0,99.

Н о перед этим мы вычислили оценки матожидания и СДО, воспользовавшись формулами

где x_i – среднее значение границ интервала, p_i – вероятность попадания величины в интервал, n – количество результатов (объем выборки).

Д ля построения доверительных интервалов мы воспользовались формулой:

Г де t_β=argФ*[(1+β)/2] – табличное значение, равное для заданных значений доверительной вероятности. Данная величина определяет для нормального закона число СДО, которое нужно отложить вправо и влево от центра рассеивания для того, чтобы вероятность попадания в данный участок была равна β.