26. Статистические гипотезы. Основные понятия (основная и альтернативная гипотеза, критическая область, доверительная вероятность). Проверка статистических гипотез.

Статистическая гипотеза представляет собой некоторое предположение о законе распределения СВ или о параметрах этого распределения, формулируемое на основе выборки.

Различают простую и сложную гипотезу. Простая, в отличие от сложной, однозначно определяет распред-е Р, т.е. Н: {P=P₀}, а сложная – утверждает принадлежность распределения Р к некоторому семейству распределений – Н: {P€P₀}. Примеры:

П – {P_A появления события в схеме Бернулли равна ½}

С – {P_A появления события в с.Бернулли заключена м/д 0,3 и 0,6}

Г, в основе которых нет никаких допущений о конкретном виде закона распределения, называются непараметрическими, в противном случае – параметрическими.

Нулевая (основная) Г – проверяемая Г. – Н₀ – утверждает, что различия между сравниваемыми хар-ками отсутствует, а наблюдаемые отклонения объясняются лишь случайными колебаниями. Альтернативная (конкур)– Н₁ – противоречит Н₀.

Проверка гипотезы основывается на вычислении некоторой СВ – критерия, точное или приближенное значение которого известно. Обозначение значения критерия: Z – функция от выборки: Z=(x₁,…,x_n).

Процедура проверки гипотезы предполагает каждому значению критерия одно из двух решений – принять или отвергнуть Г. Тем самым, все выборочное пространство разделяется на 2 непересекающихся множества S₀ и S₁. Если значения критерия Z попадают в область S₀, Г принимается, в S₁ – отвергается, т.е.: S₀ – область принятия Г (ОДЗ); S₁ – область отклонения гипотезы (критическая).

Принятие и отклонение гипотезы соответствует истине с некоторой вероятностью, возможны 2 рода ошибок:

Гипотеза	Решение	РА	Примечание
верная	принимаем	1-α	Доверительная РА
верная	опровергаем	α	РА ошибки I рода
неверная	принимаем	β	РА ошибки II рода
неверная	отвергаем	1-β	Мощность критерия

Доверительная – вероятность того, что значение параметра генеральной совокупности находится в построенном для него доверительном интервале. Доверительная вероятность обычно обозначается (1-α) и выбирается из значений 0,9; 0,95; 0,99 и т.п.

Оперативная хар-ка критерия – Р_А 1-α не допустить ошибку I рода, т.е. принять гипотезу Н₀, когда она верна.

Уровень значимости – Р_А α допустить ошибку I рода, т.е. отвергнуть гипотезу Н₀, когда она верна.

Р_А β допустить ошибку II рода, т.е. принять гипотезу Н₀, когда она неверна.

Мощность критерия – Р_А (1-β) не допустить ошибку II рода т.е. отвергнуть гипотезу Н₀, когда она неверна.

Т.к. критерий Z – одномерная СВ, то все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу и, соответственно, должны существовать точки, разделяющие критическую область и область принятия гипотезы.

О ни называются критическими.

Области – критическая область:

a) Правосторонняя – (k_кр;+∞)

b) левосторонняя – (-∞;k_кр)

c) двусторонняя (-∞;k_кр)U(k_кр;+∞)

# Пусть дана независимая выборка (X₁,…,X_n)~N(µ,1), где μ – неизвестный параметр. Тогда Н₀: {µ=µ₀}, где μ₀ – фиксированная константа, является простой гипотезой, а конкурирующая с ней Н₁: {µ>µ₀} – сложной.