11. Непрерывная случайная величина. Функция распределения и плотность вероятности. Их свойства.

СВ – величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестное заранее какое именно. Обозначается X=f(ω), где ω – элементарный исход.

СВ обозначаются прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z, а их значения – соотв-щим строчным буквам x, y, z.

Законом распределения СВ называется любое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.

Непрерывная СВ – величина, бесконечное несчетное множество значений которой есть некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой оси (расход э/энергии за месяц, абсцисса точки попадания при выстреле).

СВ Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек.

Непрерывная СВ имеет непрерывную ф-ю распределения. Она задает закон распределения, который полностью характеризует СВ.

Функцией распределения СВ X называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что СВ X примет значение, меньшее х: F(x)= Р(Х<х).

Свойства функции распределения:

1. F(x) – неубывающая функция своего аргумента: х₁<х₂, P(х₁)<P(х₂)

2. F(-∞)=1, F(+∞)=1

Теорема. Вероятность любо отдельно взятого значения непрерывной СВ равна нулю.

Следствие. Если Х – непрерывная СВ, то вероятность попадания СВ в интервал (х1;х2) не зависит от того, является ли этот интервал открытым или закрытым, т.е.

Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема, то более наглядное представление о СВ дает плотность вероятности СВ f(х) – производная ее функции распределения. f(х)=F’(x)

X~F(x) P(x<X<x+∆x) = F(x+∆x) – F(x)

ПР хар-т плотность, с которой распределяются значения СВ в заданной точке. Кривая, изображающая ПР – кривая распределения. ПР – одна из форм закона распределения СВ.

Свойства ПР: 1. f(x)≥0; 2.

12. Числовые характеристики непрерывной св. М(х), d(X), σx, их свойства.

Иногда нет необходимости СВ характеризовать полностью, т.е. задавать ее закон распределения. Достаточно указать отд-е ее числ-е параметры, хар-щие существенные черты распределения.

Среди числовых характеристик СВ можно выделить те, которые характеризуют положение СВ на числовой прямой, т.е. указывают некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения СВ:

1 . Матожиданием непрерывной СВ X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интервал:

Если возможные значения принадлежат всей оси Х, то:

f(х) – плотность вероятности СВ– производная ее функции распределения. f(х)=F’(x). ПР хар-т плотность, с которой распределяются значения СВ в заданной точке.

Свойства матожидания:

1) M(C)=C

2) M(kX)=kM(X)

3) M(X±Y)=M(X)±M(Y)

4) M(XY) = M(X)M(Y)

5) M(X±C)=M(X)±C

6) M[X-M(X)]=0

2 . Дисперсией непрерывной СВ называется математической ожидание квадрата ее отклонения. Дисперсия - хар-ка рассеивания (разбросанности) значения СВ около ее матожидания. Если возможные значения Х

принадлежат отрезку [a,b], то

Для вычисления D(X) можно использовать более удобные ф-лы:

Свойства дисперсии:

1) D(C)=C

2) D(kX)=k²D(X)

3) D(X) = M(X²) – [M(X)]²

4) D(X±Y)=D(X)±D(Y)

3. СДО:

4. Модой непрерывной СВ называется значение СВ, при котором плотность вероятности максимальна.

5. Медианой непрерывной СВ Х называется такое ее значение Ме, что Р(X<Me) = P (X>Ме). Для симметрич. распределения Мо, Ме и М(Х) совпадают.

6 . Ассиметрия распределения – характеризует симметрию распределения относительно своего матожидания. S_k=µ₃/σ³. Для симметрии распределения все моменты нечетного порядка равны нулю. 1 - S_k>0, 2 - S_k=0, 3 - S_k<0

7. Эксцесс Еx= µ₄/σ⁴. 1 - E_k>0, 2 - E_k=0, 3 - E_k<0

8. Моменты непрерывной СВ

Начальным моментом порядка k СВ Х называется матожидание величины Х^k.

Начальный момент 1го порядка равен матожиданию.

Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины (Х-m_k)^k.

Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а центральный момент второго порядка равен дисперсии. Центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию распределения.