8. Числовые характеристики дискретной св.

Иногда нет необходимости СВ характеризовать полностью, т.е. задавать ее закон распределения. Достаточно указать отд-е ее числ-е параметры, хар-щие существенные черты распределения.

Среди числовых характеристик СВ можно выделить те, которые характеризуют положение СВ на числовой прямой, т.е. указывают некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения СВ:

1. Математическое ожидание – центр рассеивания СВ

Рассмотрим СВ Х, имеющую возможные значения х₁, х₂, …, х_n. Эти значения СВ принимает с вероятностью р₁, р₂, …, р_n. Требуется охарактеризовать положение СВ х на оси абсцисс с учетом того, что она свои значения принимает с некот. вер-тями.

Свойства матожидания:

1) M(C)=C

2) M(kX)=kM(X)

3) M(X±Y)=M(X)±M(Y)

4) M(XY) = M(X)M(Y)

5) M(X±C)=M(X)±C

6) M[X-M(X)]=0

2. Дисперсия - хар-ка рассеивания (разбросанности) значения СВ около ее матожидания.

Дисперсией D(X) называется матожидание квадрата ее отклонения от матожидания: D(X)=M[X-M(X)]².

В качестве хар-ки рассеяния нельзя брать матожидание отклонения СВ от ее матожидания M[X-M(X)], т.к. согласно свойству 6 эта величина равна нулю для любой СВ.

Е сли СВ X – дискретная с конечным числом значений, то

Свойства дисперсии:

1) D(C)=C

2) D(kX)=k²D(X)

3) D(X) = M(X²) – [M(X)]²

4) D(X±Y)=D(X)±D(Y)

3. Среднее квадратическое отклонение

Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата СВ, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину . СДО σ_х СВ X называется арифм. значения корня кВ. из ее дисперсии .

4 . Моменты СВ

Начальный момент S-того порядка:

α1[X]=M[X] – н.м. 1 порядка αS[X]=M[XS]

Центрированная СВ , соответствующая СВ Х, это отклонение СВ Х от ее матожидания = M[X-M(X)]=0

Моменты центрированной СВ – центральные моменты

5 . Ассиметрия распределения – хар-т симметрию распределения относительно своего матожидания. S_k=µ₃/σ³. 1 - S_k>0, 2 - S_k=0, 3 - S_k<0

6. Эксцесс Еx= µ₄/σ⁴. 1 - E_k>0, 2 - E_k=0, 3 - E_k<0

7. Модой М₀ дискретной СВ называется ее наиболее вероятное значение. Максимумы: двухмодальный, многомодальный, антимодальный.

8. Медианой M_D (Ме) СВ Х  называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения СВ. . Если распределение одномодальное, то Мо и Ме совпадают с М(Х).

9. Биномиальное распределение. Частная теорема о повторении опытов. Примеры.

БР – распределение количества успехов в последовательности независимых случайных экспериментов таких, что вероятность успеха в каждом из них равна Р.

Дискретная СВ Х имеет биномальный закон распределения с параметрами n и p, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, …, n с вероятностями P(Х=m)_n=С_n^mp^mq^n-m, где 0<p<1, q=1-p.

Биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа X=m наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p.

Ряд распределения биномиал. закона:	xi	0	1	2	…	m	…	n
	pi	qn	Сn1pqn-1	Сn2p2qn-2	…	Сnmpmqn-m	…	pn

y~Bi(n,p) (y имеет биномиальное распределение, где n – количество испытаний, p – вер-ть успеха в каждом испытании)

M(Y) = np; D(Y) = npq (M(m/n)=p; D(m/n)=pq/n)

Ассиметрия – S_k=(q-p)/(√npq) Эксцесс – Еx=(1-6pй)/(npq)

Теорема. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянная, то вероятность P_m,n того, что событие А наступит m раз в n независимых опытах равна С_n^mp^mq^n-m где q=1-p. (формула Бернулли).

Примеры:

1) Вероятность изготовления на станке стандартной детали равна 0,8. Найти вер-ти возможного числа появления брак. деталей среди пяти отобранных. Р_0,5= С₅⁰0,2⁰0,8⁵. Р_1,5. Р_2,5. Р_3,5. Р_4,5. Р_5,5.

2) Вероятность того, что расход э/энергии в продолжение 1 суток не превысит уст. нормы, равна p=0,75. Найти вер-ть того, что в ближ. 6 суток расход э/энергии в теч. 4 суток не превысит нормы.

Р₆(4) = С₆⁴p⁴q² = С₆²p⁴q² = (6*5)/(1*2) * (0,75)⁴ * (0,25)² = 0,3

Производящая ф-ю вероятности Р_m,n. Z^m –искомая вероятность.