22. Основные понятия математич. Статистики. Простая статистическая совокупность. Статистическая функция распределения. Статистический ряд. Полигон. Гистограмма.

Разработка методов регистрации, описания и анализа математических экспериментальных данных получается в результат наблюдения массовых случайных явлений, составляющих предмет математической статистики (МС).

Основные задачи МС:

1) Определение закона распределения СВ по стат.данным

2) Проверка правдоподобности гипотезы

3) Нахождения неизв-х параметров равномерного распределения

Современную МС определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности. Главная задача МС состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

Предположим, что СВ Х производит ряд опытов с целью определения либо закона ее распределения (заранее неизвестного), либо с целью проверки гипотезы о законе распределения. В каждом из опытов СВ Х принимает определенное значение – варианту. Причем последовательность x₁,…x_n значений СВ Х (где x₁<…<x_n) получена в результате ранжирования (операции расположения СВ по возрастанию).

№ опыта	х
1	3,1
2	3,2

Совокупность вариант представляет первичный стат. материал и называется простой стат. совокупностью или статистическим рядом.

Обычно эти данные представлены в виде таблицы. На их основе строится функция распределения.

Стат. функция распределения представляет собой ступенчатую функцию. Величина скачка данной функции – частота события при неограниченном числе опытов. Частота событий будет стремиться к подлинной.

Стат. ф-я распределения – функция F*(x), определяющая для каждого значения х относительную частоту события Х<x. F*(x)=n_x/n, где n_x - число вариант, меньших х, n – объем выборки.

Свойства стат. ф-и распределения:

1) значения функции принадлежат отрезку [0;1]

2) F*(x) – неубывающая функция

3) если х₁ – наименьшая варианта, то F*(x)=0 при x≤x₁; если х_k – наибольшая варианта, то F*(x)1 при x>x_k.

Пример. Построить функцию F*_n(x), если

xi	0	1	2	3	4	5
pi*	0,1	0,2	0,1	0,1	0,2	0,3

Выборочная совокупность (выборка) – совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральная совокупность – совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объем совокупности – число объектов это совокупности.

Числа n_i, показывающие сколько раз встречаются варианты x_i в ряде наблюдений, называются частотами, а отношение их к объему выборке – частостями, т.е. p*_i=n_i/n.

Для наглядности стат.распределение изображается графически в виде полигона и гистограммы. Полигон, как правило, служит для изображения дискретного (т.е. варианты отличаются на постоянную величину) стат. ряда.

П олигон частот – ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (x₁,n₁),…,(x_k,n_k); полигон частостей (на рис.) – с координатами (x₁,p₁*),…,(x_k,p_k*). Варианты откладываются на оси абсцисс, а частоты и частости – на оси ординат.

Полигон является стат. аналогом многоугольника распределения (см. вопрос 7).

Для непрерывного распределения признака (т.е. варианты могут отличаться на сколь угодно малую величину) можно построить полигон частот, взяв середины интервалов в качестве значений

x ₁,…,x_k. Гистограммая частот (частостей) – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению n_i/n. Плотность частоты – n_i/h, частости – p_i*/h.

Площадь гистограммы частот = объему выборки, частностей = 1.

Гистограмма частостей:

Гистограмма частот является стат.аналогом дифференциала функции распределения (плотности) f(x) СВ Х. Сумма площадей прямоугольников равна 1: h*p₁^*/h + … + p_i*/h = p_i* + … + p_i* = 1, что соответствует условию для плотностей вероятностей f(x) (см. вопрос 11)

Если соединить середины верхних оснований прямоугольников с отрезками прямой, то получим полигон того же распределения.