24. Метод моментов для получения точечных оценок. Выравнивание статистических рядов.

Метод моментов для нахождения точечных оценок неизв. параметров заданного распределения состоит в приравнивании теоретических моментов распределения соответствующим эмпирическим моментам, найденным по выборке.

Так, если распределение зависит от одного параметра (например, задан вид плотности распределения f(х,0) ), то для нахождения его оценки надо решить относительно θ одно ур-е: М(Х)=θ_В ( _{есть функция от θ).}

_{Е сли распределение зависит от двух параметров (например, вид плотности распределения f(x,θ1,θ2) ) – надо решить относительно θ1 и θ2 систему уравнений:}

И , наконец, если надо оценить n параметров θ₁, θ₂, …, θ_n, - надо решить одну из систем вида:

Метод моментов является наиболее простым методов оценки параметров. Оценки метода моментов обычно состоятельны, однако их эффективность часто значительно меньше единицы.

Пример. Найти оценки параметров СВ X~N(a,σ²).

Требуется по выборке x₁,…,x_n найти точечные оценки неизвестных параметров a=M(X)=θ₁ и σ²=D(X)=θ₂.

По методу моментов приравниваем их соответственно к выборочному среднему и выборочной дисперсии (α₁=М(Х) – нач. момент 1 порядка, µ₂=D(X) – центр. момент 2 порядка). Получаем

Т аким образом, искомые оценки параметров: θ₁=х_В и θ₂=√D_В.

Выравнивание статистических рядов

Количество проводимых измерений СВ Х ограничено. В идеале при n→∞ мы получим непрерывную кривую распределения. Но у нас n<∞, n – конечно, следовательно неизбежная случайность (единственно возможный способ – построение гистограммы).

Задача состоит в подборе теоретической кривой распределения, чтобы она описывала данное статистическое распределение. Такая задача и носит название выравнивание статистического ряда. В большинстве случаев характер закона м.б. известен до опытов, исходя из каких-либо соображений. Нам лишь требуется определить параметры распределения.

Данную задачу мы использовали при решении домашней контрольной работы. Выяснив с помощью критерия Пирсона, что данное распределение имеет нормальный закон (см. вопр.29).

Н о перед этим мы вычислили оценки матожидания и СДО, воспользовавшись формулами

где x_i – среднее значение границ интервала, p_i – вероятность попадания величины в интервал, n – количество результатов (объем выборки).

З атем нам было необходимо построить кривую нормального закона, совместив ее с гистограммой. Для этого мы искали по данной функции распределения ее значения в точках, соответствующих значениям границ интервалов разбиения, точках, соответствующих средним значениям границ интервала и контрольных точках: m_x^*±3σ_x^*, m_x^*±2σ_x^*, m_x^*±σ_x^*, m_x^*.

Максимальное значение контрольной точки заканчивается на 3σ_x, т.к. по «правилу трех сигм», если СВ имеет нормальный закон распределения, то практически достоверно, что ее значение заключены в интервале (M(X)-3σ; M(X)+3σ).

Затем мы представили вид кривой плотности вероятности, наложенной на гистограмму. Полученные результаты хорошо согласуются с гистограммой.