1 0. Распределение Пуассона. Простейший поток событий. Формула Пуассона для потока событий. Вероятность появления хотя бы одного события.
Закон Пуассона моделирует СВ, представляющую собой число событий, произошедших за фикс. время при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга. Данное распр-е играет важную роль в теории масс. обслуж-я.
Рассмотрим дискретную СВ Х, которая может принимать значения 0, 1, 2 и т.д. (целые неотрицательные).
Pm = P(X=m) = 𝜆m/m! * e-𝜆 , где 𝜆 – параметр данного распределения. х~P(𝜆) M(X)=𝜆 D(X)=𝜆
Ассиметрия – Sk=𝜆-1/2 Эксцесс – Еx=𝜆-1
Поток событий – последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Простейший – поток событий, обладающий свойствами:
- стационарности: вероятность появления k событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка и не зависит от начала его отсчета (вероятность попадения того или иного числа событий на участок времени, зависит только от длины этого участка).
- отсутствия последействия: вероятность появления k на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка (вероятность не зависит от момента совершения предыдущих событий).
- ординарности: вероятностью наступления за элементарный промежуток времени более одного события можно пренебречь по сравнению с вероятностью наступления за этот промежуток не более одного события (вероятность одновременного появления двух и более событий равна нулю).
Интенсивность потока (λ) – среднее число событий, которые появляются в единицу времени.
Формула Пуассона.
Предположим, что мы хотим вычислить вероятность Pm,n появления события А при большом числе испытаний n, например P300,500. По формуле Бернулли:
С300500p300q200 = 500!/(300!*200!) * p300q200.
В этом случае непосредственное вычисление по формуле Бернулли технически сложно. Поэтому возникает естественное желание иметь более простые приближенные формулы для вычисления Pm,n при больших n. Наиболее простой из них является формула Пуассона.
Теорема. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании стремится к нулю (р→0) при неограниченном увеличении числа n испытаний (n→∞), причем произведение np стремится к постоянному числу 𝜆 (np→𝜆), то вероятность Pm,n того, что событие А появится m раз в n независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству:
Вероятность появления хотя бы одного события:
P(X≥1) = 1 – P(X<1) = 1 – P(X=0) = 1 – |
𝜆0e-𝜆 |
= 1 – e-𝜆 |
0! |
Пример. Найти вероятность того, что за 2 минуты придет хотя бы один вызов.
P(X≥1) = 1-P(X<1) = 1-P(X=0) =
= 1-[(k/30)0/0! * e-k/30] = 1-e-k/30