3.6 Распределение Вейбулла

Функция распределения наработки до отказа

,

где – параметр формы распределения; – параметр масштаба распределения.

Плотность распределения наработки до отказа

.

При распределение Вейбулла сов­падает с экспоненциальным

(рис. 3.1), когда интенсивность отказов постоянна.

При превращается в распределение Рэлея (рис. 3.6).

При интенсивность отказов монотонно возрастает (рис. 3.7).

При монотонно убывает (рис. 3.8).

1

Время, t

0

Рис. 3.7 График изменения показателей надёжности для распределение Вейбулла, при

1

Время, t

0

Рис. 3.8 График изменения показателей надёжности для распределение Вейбулла, при

Средняя наработка до отказа

,

где – гамма-функция.

Среднее квадратическое отклонение

.

Распределение Вейбулла является достаточно универсальным, так как позволяет, варьируя его параметрами, добиваться различной формы кривой интенсивности отказов.

3.7 Гамма-распределение

Функция распределения наработки до отказа

,

где – параметр формы распределения; – параметр масштаба распределения; – гамма-функция Эйлера.

Плотность распределения

.

Средняя наработка до отказа

.

Среднее квадратическое отклонение

.

Графики показателей надёжности при гамма-распределении представлены на рис. 3.9.

1

0

Время, t

Рис. 3.9 График показателей надёжности для гамма-распределения

При интенсивность отказов возрастает, при убывает, а при становится постоянной, т.е. гамма-распределение превращается в экспоненциальное.

Гамма-распределение наиболее хорошо описывает распределение суммы независимых случайных величин, каждая из которых распределена по экспоненциальному закону.

При целом гамма-распределение называется распределением Эрланга порядка . Сумма случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение с параметром , имеет распределение Эрланга с параметрами и . Функция распределения при этом будет иметь вид

.

3.8 Смесь распределений

Смесь распределений определяется, как линейная комбинация нескольких распределений. При этом выражения для основных показателей надежности будут иметь вид

,

,

,

,

где – коэффициент веса i-го показателя; .

Выбор того или иного закона распределения наработки до отказа определённого типа объектов должен основываться на анализе изменений их параметров на протяжении всего периода эксплуатации.

Раздел 4 Потоки отказов и показатели надежности восстанавливаемых объектов

4.1 Понятие потока отказов. Простейший (пуассоновский) поток

Поток отказов  это последо­вательность отказов, происходящих один за другим в случайные моменты времени.

Существует множество математических описаний потоков отказов. Наиболее распространённым из них является простейший (пуассоновский) поток отказов.

Простейший (пуассоновский) поток – это поток отказов, который одновременно обладает свойствами стацио­нарности, ординарности и отсутствия последействия.

Свойство стационарности. Поток называют стационарным, если числа отказов , , …, соответственно на отрезках времени , , …, зависят только от длительности этих отрезков , , …, и не зависит от выбора общего момента начала отрезков. В противном случае поток называют нестационарным. Выполнение требования стационар­ности означает, что вероятностные характеристики потока не зависят от вре­мени. В частности, закон распределения числа отказов на любом промежутке времени не зависит от самих значений и , а зависит только от их разности .

Пример. Изменение во времени условий эксплуатации: температуры, вибрации, запылённости, квалификации обслуживающего персонала и других приводит к нестационарности.

Свойство отсутствия последствий. Поток отказов называют потоком без последействия, если для любого набора непересекающихся промежутков времени , , …, числа отказов на этих промежутках , , …, представляют собой взаимно независимые случайные величины. В частности, выполнение требования отсутствия последействия означает, что распределение числа отказов на любом промежутке времени не зависит от течения потока до и после этого промежутка времени.

Пример. Последействия могут иметь место и из-за недостаточного качества вос­становления, когда свойства объекта не полностью регенерируются после отказа, а также в ситуации, когда отказ одного элемента вызывает ухудшение условий работы иных элементов.

Свойство ординарности. Поток называют ординарным, если

где  вероятность возникновения по меньшей мере двух отказов в те­чение промежутка времени длиной .

Ординарность означает практическую невозможность возникновения двух или более отказов одновременно.

Пример. Неординарность возникает в системе при условиях эксплуатации сверх допустимых пределов.

Вероятность возникновения отказов ( =0, 1, 2 …) на отрезке времени длиной определяется распре­делением Пуассона

(4.1)

где параметр распределения.