5.3 Методы расчета надёжности невосстанавливаемых систем
При всём многообразии методов расчета надёжности невосстанавливаемых систем их можно разделить на две группы:
для систем с простой структурой, которая сводится к последовательно-параллельному соединению элементов;
для систем со сложной структурой, не сводящейся к последовательно-параллельному соединению элементов.
Методы данных групп оперируют с количественными показателями безотказности, и базируются на основных понятиях и теоремах теории вероятности и алгебры логики.
5.3.1 Расчет надежности систем с последовательным и параллельным соединением элементов
Если
система состоит из
последовательно соединённых элементов
(рис. 5.1, а),
то отказ системы происходит при отказе
элемента с минимальным временем
безотказной работы, т.е.
,
где
–
время работы системы до отказа. При этом
остальные элементы прекращают работу.
Согласно теореме умножения вероятностей: вероятность совместного появления независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Тогда
,
где – время функционирования системы.
Следовательно, вероятность безотказной работы системы равна произведению вероятностей безотказной работы её элементов
.
(5.1)
Так
как плотность распределения наработки
до отказа
,
то
.
(5.2)
Интенсивность
отказов системы
,
следовательно
.
(5.3)
Таким образом, интенсивность отказов системы с основным соединением элементов равна сумме интенсивности отказов её элементов, независимо от законов распределения наработки до отказа.
Средняя наработка до отказа, являясь математическим ожиданием случайной величины наработки до отказа, определяется по формуле
или
.
(5.4)
Получим
выражения для определения надёжности
системы в случаи постоянных интенсивностей
отказов элементов
,
где i=1,
2, … , n.
Тогда
,
т.е.
,
(5.5)
где
.
Средняя наработка до отказа
,
т.е.
.
(5.6)
Рассмотрим систему, состоящую из параллельно соединённых элементов (с постоянно включённым резервом), представленную на рис. 5.1, 6. Элемент с номером 0 является основным, а элементы с номерами 1, 2 , … , m – резервными. В данном случае отказ системы наступает при отказе элемента с максимальным временем работы
.
По теореме умножения вероятностей
.
Следовательно, вероятность отказа системы равна произведению вероятностей отказов её элементов
(5.7)
или
.
Так
как
,
то
(5.8)
или
.
Интенсивность
отказов
такой системы
. (5.9)
Получим
расчетные формулы для случая равных и
постоянных интенсивностей отказов
элементов
.
В этом случае вероятность безотказной
работы системы определяется из выражения
.
(5.10)
Выражение интенсивности отказов системы получается из соотношения
.
Подставляя
в данное соотношение
из (6.10) и его производную
,
получим
. (5.11)
Средняя наработка до отказа
.
После ряда преобразований это выражение примет вид
.
(5.12)
Пример.
Допустим, что наработка до отказа каждого
элемента АСР уровня жидкости (рис.5.2),
структурные схемы которой представлены
на рис.5.3, а
и б
описывается экспоненциальным
распределением с параметрами
,
,
,
,
.
Необходимо определить вероятность
безотказной работы этих систем.
Решение.
Выражение для определения вероятности
безотказной работы
АСР уровня
жидкости в случаи обязательной работы
двух регулирующих органов (рис. 5.3, а)
будет иметь вид
.
Рассмотрим случай, когда для функционирования АСР достаточно работы одного исполнительного устройства (рис. 5.3, б).
Выражение вероятности безотказной работы такой системы будет иметь вид
.
Одним из вариантов системы с параллельным соединением элементов являются так называемые мажоритарные системы (системы типа «m из n»). Отказ такой системы происходит, если из n элементов, соединенных параллельно, работоспособными окажутся менее m элементов (m < n).
Мажоритарная
система работоспособна в течение времени
(событие А)
при отказе не более
элементов. Пусть
– событие, состоящее в отказе любых
элементов за время
.
Тогда
.
Событие
произойдет, если откажут любые
элементов, а остальные
элементов останутся работоспособными.
Вероятность появления этого события,
при условии одинаковой надежности всех
элементов выражается формулой Бернулли
[]
,
где
– вероятность отказа i-го
количества элементов;
– вероятность безотказной работы
(n-i)-го
количества элементов;
– коэффициент, показывающий количество
комбинаций, при помощи которых можно
получить ситуацию «i
из n».
Данный коэффициент определяется из
выражения
.
Так
как события
попарно независимы, то вероятность
суммы событий равна сумме вероятностей
этих событий
Таким образом, вероятность безотказной работы мажоритарной системы
(5.13)