7.2 Определительные испытания

Планы испытаний. План испытаний - это правила, устанавливающие объем выборки, порядок проведения испытаний и критерии их прекращения. Наименование плана принято обозначать тремя буквами (цифрами): первая из них обозначает число испытываемых объектов, вторая – наличие или отсутствие восстановлений на время испытаний в случае отказа, третья – критерий прекращения испытаний. Если объекты подвергаются испытаниям одновременно, то полученное обозначение плана испытаний записывается в квадратных скобках. В ряде случаев, испытания объектов могут производится неодновременно и прекращаться в произвольный момент по каким-либо посторонним причинам, тогда план испытаний записывается в круглых скобках.

Рассмотрим наиболее типовые планы определительных испытаний.

План [NUT] соответствует одновременному испытанию N объектов. Эти объекты после отказа не восстанавливаются (или же восстанавливаются, но данные о их поведении после первого отказа в испытаниях не рассматриваются). Испытания прекращают по истечении наработки каждого отказавшего объекта. На рис. 7.1 звёздочкой обозначено наличие отказа; – наработка до отказа -го объекта. Этот план обычно применяют для определения вероятности безотказной работы объекта за время T.

План [NUr] соответствует испытаниям невосстанавливаемых объектов, однако в отличие от плана [NUT] испытания прекращают, когда число отказавших объектов достигает . В примере плана, данного на рис. 7.2, -й отказ имеет место у -го объекта. Если , то переходим к плану [NUN], когда испытания прекращают после отказов всех объектов. План [NUr] обычно применяют для определения средней наработки на отказ и средней наработки до отказа в случае экспоненциального распределения, а план [NUN] - в случае нормального распределения. Испытания по плану [NUN] требуют значительного времени и большого числа испытываемых объектов, но дают возможность полностью определить функцию распределения. Планы [NUr] и [NUT] позволяют определить функцию распределения только для некоторого интервала времени, дают меньше информации, зато позволяют быстрее закончить испытания.

План [NRT] описывает испытания N объектов, причем отказавшие во время испытаний объекты, подлежат восстановлению. Испытания прекращают по истечении наработки T каждой из N позиций (рис. 7.3).

Рис. 7.3 План испытаний [NRT]

План [NRr] соответствует испытаниям N объектов, отказавшие во время испытаний объекты восстанавливают. Испытания прекращают, когда суммарное по всем позициям число отказавших объектов достигает r (рис. 7.4).

Задачами планирования является определение минимального объема наблюдений - выбор числа испытываемых объектов N, а также продолжительности наблюдений T для планов [NUT] и [NRT] или числа отказов r для планов [NUR] и [NRr].

Результатами определительных испытаний должны являться точечные и интервальные оценки показателей надежности.

Точечная оценка – это оценка, имеющая конкретное числовое значение, вычисляемое на основе наблюдений, и предположительно близкое оцениваемому параметру. Наиболее распространенной точечной оценкой является среднее арифметическое значение параметра.

Точечная оценка средней наработки до отказа

(7.1)

соответствует плану [NUN], так как здесь рассматриваются завершенные (не прерванные в испытаниях) наработки до отказа каждого из испытываемых объектов. Это соотношение имеет место при любых законах распределения наработки до отказа.

Для экспоненциального распределения при всех рассмотренных планах испытаний, кроме плана [NUN] точечная оценка средней наработки до отказа

, (7.2)

где S – суммарная наработка всех объектов за время испытаний; суммарное числе отказов всех объектов за время испытаний.

При плане [NUT]

, (7.3)

где l– число объектов, отказавших в интервале (0;T); наработка до отказа i-го объекта из числа отказавших.

При плане испытаний [NUr]

. (7.4)

Для плана [NRT] и простейшего потока, у которого время между отказами подчиняется экспоненциальному распределению, оценка средней наработки до отказа совпадает с оценкой средней наработки на отказ

. (7.5)

Оценка интенсивности отказов при экспоненциальном рас­пределении может быть определена через оценку средней наработки до отказа

. (7.6)

При плане [NUN]

. (7.7)

Оценка параметра простейшего потока совпадает с оценкой интенсивности отказов . При плане [NRT]

. (7.8)

При нормальном распределении, кроме оценки средней наработки до отказа, проводимой по соотношению (7.1), часто требуется найти точечную оценку и второго параметра этого распределения, именно среднее квадратическое отклонение . При плане [NUN]

. (7.9)

Оценка среднего времени восстановления определяется аналогично (7.1) и соответствует плану [NUN]. Оценки вероятности отказа и вероятности безотказной работы до момента могут быть найдены за ограниченный интервал времени и соответствуют плану испытаний [NUT].

Точечные оценки дают представление о значении показателя надежности, но ничего не говорят о точности этой оценки. Для рассмотрения точности оценки вводится понятие интервальной оценки.

Интервальная оценка – это оценка представляемая интервалом значений, внутри которого с определенной вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра. Интервал в интервальной оценке называется доверительным интервалом, а вероятность нахождения истинного значения оцениваемого параметра называется доверительной вероятностью. Доверительный интервал характеризуется нижней и верхней доверительными границами.

Некую величину называют нижней доверительной границей параметра T при односторонней доверительной вероятности , если параметр T лежит на интервале с вероятностью .

Некую величину называют верхней доверительной границей параметра T при односторонней доверительной вероятности , если параметр T лежит на интервале с вероятностью .

Наиболее часто используемые в задачах квантили распределения приведены в табл. 7.2.

Таблица 7.1

Доверительные границы и интенсивности отказов при экспоненциальном распределении и различных планах испытаний представлены в табл. 7.2.

Таблица 7.2

План испытаний	Интенсивность отказов или параметр потока отказов при экспоненциальном распределении
	Нижняя граница	Верхняя граница

Примечание. квантиль распределения при вероятности с числом степеней свободы ; суммарное число отказов в испытаниях.

Для восстанавливаемых объектов при простейшем потоке отказов до­верительные границы параметра потока отказов , . Нижняя и верхняя доверительные границы средней наработки до отказа и средней наработки на отказ соответственно будут

; . (7.10)

За заданное время нижняя и верхняя доверительные границы вероятности безотказной работы

; . (7.11)

Если в результате испытаний по плану [NRT] число отказов равно нулю, то . При этом определяется только односторонняя верхняя доверительная граница

. (7.16)

где – квантиль – распределения при вероятности с числом степеней свободы 2; .