Раздел 3 Законы распределения наработки до отказа

Наработка объекта до отказа может описываться различными законами распределения в зависимости от его свойств, условий работы, характера отказов и т. д.

3.1 Экспоненциальное распределение

Наибольшее распространение получило экспоненциальное (показательное) распределение, при котором функция распре­деления наработки до отказа имеет вид

, (3.1)

где – параметр этого распределения, характеризующий число отказов объекта в единицу времени.

Согласно (2.5) соответствующая плотность распределения

. (3.2)

Согласно (2.3) функция надежности

. (3.3)

Согласно (2.7) и (2.9) вероятность отказа объекта до мо­мента и вероятность безотказной работы до момента соот­ветственно будут

;

Согласно (2.17) средняя наработка до отказа

, (3.4)

т. е. равна величине, обратной параметру экспоненциального распределения.

Из (2.13) следует, что интенсивность отказов

является постоянной величиной, не зависящей от времени и чис­ленно равной параметру распределения и, как видно из (3.4), обратной средней наработке до отказа.

Графики показателей надежности при экспонен­циальном распределении даны на рис. 3.1.

Рис. 3.1 График показателей надёжности для экспоненциального закона распределения

Данным распределением описываются объекты, где можно не учитывать ни период приработки, ни участок старения и износа (например, управляющие контроллеры). Экспоненциальное распределение хорошо описывает время безотказной работы сложных систем, состоящих из большого числа разнородных компонентов. Одна из причин широкого применения этого распределения его простота.

3.2 Нормальное распределение (распределение Гаусса)

В отличие от экспоненциального, нормальное распределение используется для описания объектов, которые подвержены износу.

Функция распределения наработки до отказа

, (3.6)

где и – параметры нормального распределения.

Плотность распределения наработки до отказа

, (3.7)

Согласно (2.16) средняя наработка до отказа

. (3.8)

Графики показателей надёжности при нормальном распределении показаны на рис. 3.2.

Рис. 3.2 График показателей надёжности для нормального закона распределения

Для практического использования соотношений (3.6) и (3.7) используется так называемое нормированное нормальное распределение. Перейдем от случайной величины наработки до отказа к иной случайной ве­личине

, (3.9)

имеющей математическое ожидание и дисперсию .

Плотность распреде­ления величины следует из (3.7) и (3.9)

.

Соответственно функция распределения величины

Графическое представление плотности распределение величины показано на рис. 3.3.

И з графика очевидно, что функция является симметричной, т. е. , следовательно, .

Как правило, в справочной литературе приводятся значения не функции , а не­сколько иной функции

(3.10)

Ф

если ;

если .

ункции и связаны между собой соотношением

(3.11)