6.2 Расчет надежности восстанавливаемой системы с помощью уравнений типа массового обслуживания

Уравнения типа массового обслуживания представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения, которые позволяют определить количественные показатели надежности восстанавливаемой системы по её графу состояний.

На рис. 6.10 показана часть произвольного графа системы, которая может находиться в 3-х состояниях.

Рис.6.10 Фрагмент графа состояний

Дифференциальное уравнение для вероятности пребывания системы в i-м состоянии в момент времени t будет иметь вид

. (6.1)

В левой части уравнения пишется производная по времени от вероятности пребывания системы в i-м состоянии в момент времени t, а в правой сумма произведений интенсивностей переходов из всех соседних состояний в i-e состояние и из i-го во все состояния на соответствующие вероятности со­стояний. Знаки в правой части уравнения определяются по направлению стрелок перехода в ветвях графа. Если стрелка направлена в i-е состояние, то при соответствующей интенсивности перехода ставится знак «+», в противном случае – знак «–». Это правило справедливо при любом числе соседних с i-м состояний.

Пример. Граф состояний анализируемой системы приведен на рис. 6.7. Найти вероятность нахождения системы в каждом из пяти состояний в момент времени t.

В соответствии с графом состояний и уравнением (6.1) система дифференциальных уравнений будет иметь вид

(6.2)

В установившемся режиме функционирования вероятности состояний являются величинами постоянными. Тогда все производные в системе дифференциальных уравнений (6.2) равны нулю и она превращается в систему линейных алгебраических уравнений

(6.3)

Такая система является однородной и имеет бесконечное множество решений. Для получения однозначного решения необходимо заменить одно из уравнений нормировочным уравнением вида

. (6.4)

Результатом решения (6.3) будут вероятности , , , , нахождения системы в каждом из пяти состояний в момент времени t.

Дифференциальные уравнения типа массового обслуживания позволяют достаточно полно описать функционирование восстанавливаемой системы. Решение систем уравнений классическими математическими методами или при помощи специализированных математических пакетов программ, например MathCAD, позволяет определить любую количественную характеристику надежности. Однако данный метод имеет ряд существенных недостатков. Он является достаточно громоздким, особенно при наличии большого числа состояний системы. Кроме того, метод дифференциальных уравнений справедлив только в случае , т.е. при экспоненциальном законе распределения наработки до отказов элементов системы.

6.3 Матрица состояний

Обозначим множество всех состояний системы – Е, а число этих состояний – n. В соответствии с заданным понятием отказа все состояния системы делятся на два класса: множество работоспособных состояний и множество отказовых состояний . В каждый момент времени t система находится -м состоянии, которое определяются шестью подмножествами состояний элементов:

– множество работающих элементов;

– множество ремонтируемых элементов;

– множество элементов, находящихся в состоянии простоя вследствие прерывания их функционирования;

– множество элементов, находящихся в состоянии простоя вследствие прерывания их восстановления;

– множество элементов, образующих очередь на работу;

– множество элементов, образующих очередь на восстановление.

Пусть с каждым k-м состоянием ( ) связан вектор , характеризующий состояния всех элементов системы в момент времени t. Причем

(6.5)

В случае компонента называется «нулевой» и обозначается OR, если i-й элемент находится в очереди на работу и OW, если i-й элемент находится в очереди на восстановление. «Нулевая» компонента должна содержать порядковый номер в очереди на работу или восстановление, если таких компонентов более одной.

Таким образом, функционирование любой восстанавливаемой системы полностью определяется матрицей состояний S размерности , столбцами которой служат векторы . Для наглядности матрица состояний дополняется верхней строкой, содержащей номера работоспособных или отказавших элементов, и нижней строкой, показывающей, к какому классу ( или ) относится состояние с номером 1, если , или 0, если .

Пример. Необходимо составить матрицу состояний системы, граф состояний которой представлен на рис. 6.7.

Рассмотрим каждое состояние системы. В состоянии (0) оба элемента являются работоспособными, и этому состоянию соответствует вектор . Аргументы и означают, что, когда система пребывает в состоянии (0), оба элемента являются работоспособными. В состоянии (1) первый элемент восстанавливается, а второй работает. Этому состоянию со-

ответствует вектор , в котором аргумент соответствует восста­новлению первого элемента. В состоянии (2) второй элемент восстанавлива­ется, а первый работает. Этому состоянию соответствует вектор ,

в котором аргумент соответствует восстановлению второго элемента. В состоянии (3) оба элемента являются не рабочими, причем согласно приня­той дисциплине обслуживания первый элемент восстанавливается, а второй находится в очереди на восстановление. Этому состоянию соответствует век­тор . Нулевой аргумент означает простой второго элемента в ожи­дании, пока не освободится ремонтная бригада, занятая восстановлением пер­вого элемента. В состоянии (4) оба элемента также являются не рабочими. В силу принятой дисциплины обслуживания восстанавливается первый эле­мент, но при этом не было закончено восстановление второго элемента, и ре­монтная бригада переключилась на восстановление первого элемента. Этому состоянию соответствует вектор . Аргумент означает, что вто­рой элемент восстанавливался, однако восстановление было прервано отка­зом первого элемента. Указанные векторы поместим в матрицу состояний:

S=	0	1			2	3	4		.
						0
	1	1			1	0	0

Верхняя строка матрицы содержит номера состояний системы, а нижняя строка состоит из нулей и единиц. Значение нижней строки равно 1, если со­ответствующее состояние системы является работоспособным, и 0, если со­стояние системы является отказовым.