3.3 Усечённое нормальное распределение

Корректность использования нормального распределения наработки до отказа, достигается при . При малых значениях и большом , может возникать ситуация, когда плотность распределения «лежит» своей левой ветвью в области отрицательных наработок (рис. 3.4).

, ед. наработки ^-1

Время,

0

Рис. 3.4 График плотности распределения для нормального закона распределения наработки до отказа при малых и больших

Таким образом, нормальное распределение описывающее поведение случайных величин в диапазоне , лишь при определенных условия может быть использовано для описания моделей надежности. Этот недостаток позволяет устранить усеченное нормальное распределе­ние, которое получается из нормального путём ограничения интервала изменения случайной величины наработки до отказа.

Усечение нормального распределения может быть:

• левым – ;

• двусторонним – .

Рассмотрим случай левого усечения, а именно область .Функция распределения случайной величины будет иметь вид

где – коэффициент пропорциональности; , – параметры распреде­ления.

При этом плотность распределения

Значение выбирается исходя из условия, что площадь под кривой плотности распределения равна единице. Использовав, подста­новку (3.9), можно показать, что

.

Средняя наработка до отказа и среднее квадратическое отклонение

, ,

где .

3.4 Логарифмически нормальное (логнормальное) распределение

При логарифмически нормальном распределении нормально распределенным является логарифм случайной величины , а не сама эта величина.

Функция плотности распределения имеет вид

,

где и – параметры распределения.

Параметры и имеют статистическое определение

, .

Средняя наработка до отказа

.

Среднее квадратическое отклонение

.

Для расчёта показателей надежности можно использовать табличные функции и, соответственно, и для нормального распределения при .

Г

рафики изменения показателей надежности при логарифмически нормальном распределении представлены на рис. 3.5.

Рис. 3.5 График показателей надёжности для логарифмически нормального закона распределения

Логарифмически нормальное распределение удобно для описания случайных величин, представляющих собой произведение достаточно большого количества случайных величин, подобно тому, как нормальное распределение описывает сумму большого числа случайных величин.

3.5 Распределение Рэлея

Функция распределения наработки до отказа

,

где – параметр распределения Рэлея, равный моде этого распределения.

Плотность распределения

.

Графики показателей надёжности при распределении Рэлея показаны на рис. 3.6.

Рис. 3.6 График показателей надёжности для закона распределения Рэлея

Как видно из графика, характерным признаком распределения Рэлея является вид функции интенсивности отказов , а именно прямая выходящая из начала координат.

Средняя наработка до отказа

.

Распределение Рэлея описывает период старения и износа и используется для объектов имеющих малый срок эксплуатации.