15.3. Прицельный параметр и эффективное сечение столкновений

Сильное взаимодействие молекул происходит тогда, когда они сблизятся на достаточно близкое расстояние, называемое прицельным параметром. Если частицы представим в виде шаров, то

прицельному параметру будет соответствовать величина, равная 2r, где r – эффективный радиус частицы. Таким образом, если пролетающая молекула попадает в круг, площадью , то столкновение неизбежно.

Величина

называется эффективным сечением столкновения.

Теперь, предположим, что молекула прошла путь, равный единице длины. При этом она как бы вырезает в пространстве цилиндр, объемом, равным . Молекула сталкивается со всеми молекулами, находящимися в этом объеме, а их число равно , где - концентрация частиц. Следовательно, на единице пути молекула испытает столкновений. Отсюда следует, что, в среднем, одно столкновение произойдет на длине

.

Это средняя длина свободного пробега молекулы. Из полученного выражения видно, что средняя длина свободного пробега зависит от концентрации молекул, т.е. обратно пропорциональна давлению.

Необходимо различать среднюю длину свободного пробега и среднее расстояние между молекулами.

4. Коэффициент диффузии

Рассмотрим смесь двух газов, общее давление которых постоянно, а состав меняется только вдоль оси . Будем рассматривать только газ номер 1. Пусть - концентрация частиц этого газа .

Расположим площадку единичного сечения перпендикулярно потоку частиц газа, движущемуся вдоль оси . Учтем, что частицы пересекают эту площадку, как в направлении , так и в противоположном направлении, однако, потоки частиц не-

одинаковы, т.к. есть зависимость . Теперь учтем, что потоки частиц вдоль оси формируются на расстоянии, равном средней длине свободного пробега от рассматриваемой площадки (см. рис. 15.2), т.е. в местах, где они испытывают последнее (в среднем) столкновение. Таким образом, можно записать:

~,

где - тепловая скорость движения частиц.

Так как величина достаточно мала (будем считать, что это так), можно записать:

,

или

Ранее, для диффузионного потока мы имели . Поэтому для коэффициента диффузии имеем:

~.

Так как , , а , выражение для может быть представлено в виде:

~.

Видно, что коэффициент диффузии обратно пропорционален давлению и пропорционален температуре в степени три вторых.

15.5. Коэффициент теплопроводности

Для нахождения коэффициента теплопроводности не требуется проведения каких либо дополнительных вычислений, т.к. процессы диффузии и теплопроводности является аналогичными. При этом роль коэффициента диффузии в процессе переноса тепла играет коэффициент температурапроводности (), т.е. имеем

~.

15.6. Теплосопротивление

Выражение плотности потока тепла позволяет решать различные задачи по теплопроводности. Рассмотрим одну из них.

Пусть имеется слой вещества, ограниченный двумя концентрическими сферами, с радиусами и , поддерживаемыми при температурах и соответственно. Требуется найти стационарное значение полного потока тепла от сферы 1 к сфере 2. Для нашего случая имеем:

.

Согласно закону сохранения энергии можно констатировать, что полный поток тепла через сферу любого радиуса одинаков. Т.е.

,

откуда следует, что:

.

Интегрируя последнее выражение получим:

.

Знаем, что при температура . Поэтому имеем:

и как следствие этого получаем:

.

Теперь подставим в это выражения параметры второй сферы и получим:

,

и определим искомую величину:

.

Из полученного выражения видно, что если удалить вторую сферу на бесконечность (), то

и полный тепловой поток не зависит от , а определяется только разностью температур тела и бесконечности.

Отношение разности температур к тепловому потоку называется теплосопротивлением. В частности, для сферического слоя теплосопротивление равно:

.