3. Механические колебания и волны
3.1. Гармонические колебания
Наряду с поступательным и вращательным движениями имеется еще один широкий класс механического движения – колебательное движение.
Периодическим
колебательным движением является такое
движение, при котором через равные
промежутки времени (
)
частица (тело) имеет одно и то же положение,
одну и ту же скорость и ускорение.
называется
периодом
колебаний.
Если в некоторый момент времени
координата скорость и ускорение частицы
известны, то через промежуток времени
кратный периоду колебаний они будут
такими же. Величина обратная периоду
колебаний называется частотой
колебаний
.
Частота колебаний показывает сколько
раз в 1 сек повторяются характеристики
движения.
.
Существует бесчисленное множество
типов периодических движений. Простейшими
из них (с точки зрения математического
анализа) являются гармонические
колебания.
Это такие колебания, при которых положение
частицы в пространстве меняется по
гармоническому закону:
,
где
постоянные величины, которые имеют
простой физический смысл:
- амплитуда
колебаний
- максимальное
отклонение частицы от положения
.
.
- частота
колебаний.
[
]
=
.
Так как период гармонической функции
равен
,
то, следовательно,
.
Поэтому
.
(
)
- фаза
колебаний.
- начальная
фаза колебаний.
Покажем, что гармонические колебания могут быть записаны в виде:
,
причем, эта форма записи эквивалентна предыдущей:
.
Для
этого воспользуемся утверждением, что
если эти выражения эквивалентны, то
значения
и
вычисляемые с их помощью должны быть
равны в любой момент времени. Из условия
равенства значений
в момент времени
получаем:
.
Далее
находим выражения для скоростей (
),
приравниваем их
,
и
для момента времени
имеем:
.
Представленные
выражения для
и
позволяют найти взаимосвязь между
величинами
в виде:
,
.
Итак, гармонические колебания могут быть записаны по крайней мере двумя представленными выше выражениями. Зная взаимосвязь между коэффициентами, всегда можно перейти от одной формы записи к другой. Полученный результат также показывает, что сложение любого числа гармонических колебаний одинаковой частоты приводит к колебаниям гармонического типа.
Скорость и ускорение при гармонических колебаниях
Вернемся
к форме записи вида:
и найдем скорость частицы:
.
Видим, что скорость
частицы меняется во времени по тому же
закону, что и координата, но опережает
ее по фазе на
.
Амплитудное значение скорости равно
.
Дифференцируя скорость по времени, найдем ускорение частицы:
.
Ускорение
меняется во времени как и смещение, но
по фазе отличается от него на
.
Связь амплитуды гармонических колебаний с
начальными условиями движения
Амплитуда
гармонических колебаний определяется
только начальными условиями: либо
начальным смещением относительно точки
равновесия (
),
либо начальной скоростью (
),
либо и тем и другим параметром. Покажем
это.
Пусть
.
Если при
то получаем:
.
Если
скорость
при
равна
,
то
.
Итак, уравнение гармонических колебаний с учетом начальных условий имеет вид:
.
При этом амплитуда колебаний:
.
Если в процессе колебательного движения на тело не действуют силы, изменяющие амплитуду колебаний, то такие колебания называются свободными, а частота, на которой они происходят – собственной.
Определим силу, которая может привести к возникновению гармонических колебаний. Для этого умножим полученное выражение для ускорения на массу тела, совершающего колебательное движение. Получим:
Итак, тело совершает гармоническое колебательное движение, если действующая сила пропорциональна смещению и имеет обратный знак. Примером такой силы может служить сила упругости, возникающая при малых (упругих) деформациях различных тел. Эта сила называется восстанавливающей. Такая зависимость силы от координаты часто встречается при решении различных задач, например: задачи о движении шарика в потенциальной яме, о колебаниях маятник и т.д. В общем случае, абсолютно линейной зависимости между восстанавливающей силой и смещением не может быть, однако, если смешения достаточно малы, то такая зависимость достаточно хорошо описывает движение системы. Колебания с малой амплитудой почти всегда можно считать гармоническими.
Выражение
может быть представлено в виде:
,
где
и называется коэффициентом
жесткости.