3.4. Затухающие колебания
До сих пор рассматривались незатухающие колебания. Но если колебательное движение тела происходит в среде (жидкость, газ), которая препятствует движению, то энергия колебаний будет переходить в тепловое движение молекул, т.е. будет иметь место диссипация энергии.
При
малых скоростях движения тел в газах и
жидкостях сила трения (
)
пропорциональна скорости движения тела
– этосила вязкого трения Стокса (об
этой силе более подробно будет говориться
позже):
,
где
-
некоторая константа, определяемая
характеристиками среды и параметрами
тела.
Выясним, как влияет сила трения на колебательное движение. Будем считать, что сила трения настолько мала, что за время, равное одному периоду, амплитуда колебаний практически не меняется, т.е. изменение амплитуды колебаний много меньше самой амплитуды.
Очевидно,
энергия, теряемая совершающим колебание
телом, равна работе силы трения. За время
эта работа составляет величину:
.
Это уравнение может быть представлено в виде:
.
Ранее
было сделано предположение, что изменение
амплитуды колебаний, а, следовательно,
и энергии, за время, равное периоду
колебаний, очень мало. Поэтому вместо
кинетической энергии можно записать в
последнем уравнении среднее за период
значение полной энергии (E),
.
В результате получим:
.
Введем
обозначение
и перепишем последнее выражение в виде:
или
.
Но
,
поэтому:
.
Интегрируя, получаем:
.
Теперь
предположим, что в начальный момент
времени
полная энергия колебаний была равной
.
Это предположение позволяет определить
константу, которая оказывается равной
.
В результате имеем выражение:
или
,
из которого следует:
.
Видим,
что энергия колебаний убывает по
экспоненциальному закону. При этом,
т.к.
~
изменение амплитуды колебаний во времени
имеет вид:
.
- называется
коэффициентом
затухания.
Из
полученной зависимости видно, что за
время
амплитуда колебаний убывает в
раз.
.
Это время называется временем затухания.
Из
ранее сделанного предположения
относительно незначительной потери
энергии за период колебания, следует,
что
.
Значит, за время
система
совершит
колебаний. Величина
называется
логарифмическим
декрементом колебаний.
Вид затухающих колебаний представлен на рис. 3.4.
Необходимо отметить, что затухающие колебания не являются гармоническими.
Если сила трения велика на столько, что существенное изменение амплитуды происходит за время меньшее чем период колебания, то такие колебания называются апериодическими.
3.5. Вынужденные колебания
В реальных условиях колебания механических систем всегда являются затухающими. Для создания незатухающих колебаний нужно подводить энергию из вне с помощью действия внешних сил. Колебания, совершаемые в результате действия внешней силы, называются вынужденными. Простейшим, с точки зрения математического анализа, случаем является случай, когда внешняя сила меняется по гармоническому закону:
.
Здесь
- частота действия внешней силы,
собственную частоту колебаний системы
будем теперь обозначать
.
Запишем уравнение движения в виде:
и трансформируем его с учетом обозначений введенных ранее:
.
Решение уравнения будем искать на частоте внешней силы, т.е. предположим, что решение уравнения имеет вид:
.
Далее
найдем значения
и
,
подставим их в исходное уравнение, из
которого в последствии исключим время.
Получим два уравнения с двумя неизвестными
и
.
Определим их и проанализируем полученные
выражения.
Итак:
,
,
.
Подставим эти выражения в уравнение движения и получим:
или
.
Теперь воспользуемся известными соотношениями:
,
,
которые позволяют преобразовать наше уравнение к виду:
Теперь
воспользуемся тем, что искомое решение
должно быть справедливым в любой момент
времени, поэтому запишем полученное
выражение для моментов времени, когда
и когда
.
Получим два уравнения, не содержащие
время
,
которые
позволяют определить искомые коэффициенты
и
.
,
.
Воспользуемся
последним из представленных выражений
и найдем
и
:
,
,
и
определим
.
В результате проведенных вычислений
получим:
.
Проведем краткий анализ этих выражений.
Рассмотрим фазовый
сдвиг
.
При
величина
.
Видим, что скорость совершающего
колебания тела
всегда
находится в фазе с внешней силой
,
внешняя сила всегда направлена вдоль
скорости и всегда ускоряет тело. Условие
соответствует условию максимальной
передачи энергии от внешней силы в
колебательную систему. Это условие
резонансного взаимодействия, условие
резонанса.
Если
,
то часть времени внешняя сила ускоряет
тело, а часть времени замедляет.
В
условиях резонансного взаимодействия
(
)
амплитуда колебаний имеет максимальную
величину, равную:
.
Теперь перепишем
выражение для амплитуды вынужденных
колебаний (
)
в виде:
и преобразуем его
Предполагая,
что
,
можем записать
.
С учетом этого имеем:
,
Теперь,
используя последнее выражение, построим
график зависимости амплитуды вынужденных
колебаний от частоты внешней силы (см.
рис. 3.5), который называется резонансной
кривой.
Ширина резонансной кривой определяется
коэффициентом затухания
.
Чем больше коэффициент затухания, тем
шире резонансная кривая. Если
,
то резонансная кривая представляет
собой
-функцию.
