Лабораторная работа 3

Определение концентрации легирующих

И остаточных примесей и расчет их распределения

По длине кристалла

Цель работы – расчет концентрации легирующей примеси, соответствующей заданному в марке материала значению удельного сопротивления при наличии в исходном поликристаллическом материале остаточных примесей; оценка выхода материала с заданным значением удельного сопротивления.

3.1. Расчет концентрации легирующей примеси

Концентрацию примесей в материале характеризуют либо числом атомов в единице объема С_i, либо в долях или процентах по массе y_i. Первый способ выражения примесного состава используют при анализе электрофизических свойств, второй – при определении массы легирующих добавок и для характеристики химической чистоты исходных веществ и реагентов. При малом содержании примесей, когда можно пренебречь изменением плотности основного вещества d, справедливо следующее соотношение:

С_i = , (3.1)

где N_A – число Авогадро; M_i – молярная масса примесного компонента.

При выращивании монокристаллов легирующую примесь вводят в расплав в виде твердофазной навески. В отдельных случаях, например, в методе бестигельной зонной плавки, примесь может вводиться в кристалл из газовой фазы. Для расчета массы легирующей примеси, вводимой в расплав полупроводника, необходимо знать условия выращивания монокристалла, массу расплава, содержание фоновых (остаточных) примесей, условия взаимодействия расплава с атмосферой и тиглем.

В сложных полупроводниках, например, в соединениях А^IIIВ^V, концентрация носителей заряда задается в марке в качестве исходного параметра. В марке кристалла германия или кремния указывается, как правило, значение удельного сопротивления кристалла (см. 2.2). Для германия перевод удельного сопротивления в концентрацию носителей заряда производится аналитически (см. уравнения (2.10) и табл.6 приложения), для кремния используются специальные таблицы (см. табл. 5 приложения).

Если каждый атом легирующей примеси дает один носитель заряда в соответствующую зону и все примесные атомы полностью ионизированы, то концентрация легирующей примеси будет определять концентрацию носителей заряда, а следовательно, и удельное сопротивление полупроводника. При введении в расплав двух однотипных полностью ионизированных примесей удельное сопротивление полупроводника будет определяться их суммарным содержанием:

, (3.2)

где С_тАi и С_тDi – концентрации акцепторных и донорных примесей в кристалле соответственно.

Если кристалл легируется одновременно донорными и акцепторными примесями, то концентрация носителей заряда, определяющая удельное сопротивление, будет носить разностный характер: для полупроводника п‑типа n = C_тD – C_тA; для полупроводника р-типа p = C_тA – C_тD. В этом случае задается степень компенсации ε_n = C_тА/C_тD для полупроводника п‑типа электропроводности и ε_p = C_тD/C_тА для р-типа. Концентрацию доноров или акцепторов можно рассчитать с помощью уравнений

; . (3.3)

В общем случае необходимо учитывать наличие в исходном поликристаллическом материале фоновых или остаточных примесей. Их концентрация задается, как правило, с помощью доли или процента по массе y_i. По величине y_i в соответствии с (3.1) можно определить концентрацию остаточных примесей С_i в расплаве_. Для расчета концентрации легирующей примеси необходимо составить уравнение электронейтральности, которое может быть записано для полупроводника п- и р-типа соответственно:

n + C_тА + Σ k_{A фон}C_Aфон = C_тD + Σ k_{D фон} C_{тD фон},  (3.4.а)

C_тА + Σ k_{A фон}C_{A фон} = р + C_тD + Σ k_{D фон}C_{тD фон}, (3.4б)

где k_iфон – эффективный коэффициент распределения i-й фоновой примеси; С_{тA, D} – концентрации легирующих акцепторных и донорных примесей в кристалле соответственно; C_{A, D ост} – концентрации фоновых акцепторных и донорных примесей в расплаве к началу роста кристалла соответственно.

Выражения (3.4а) и (3.4б) необходимо пояснить: поскольку в исходном поликристаллическом материале содержатся фоновые примеси, то при его плавлении они попадают в жидкую фазу (расплав), поэтому в твердой фазе (растущем монокристалле) их концентрацию следует учитывать с использованием эффективного коэффициента распределения.

В ходе легирования монокристаллов летучими примесями их концентрация уменьшается вследствие испарения. Рассчитаем потери летучей примеси на этапах, предшествующих выращиванию монокристалла (расплавление исходной загрузки, прогрев и оплавление затравки, выращивание шейки и т. д.). Уравнение материального баланса для взаимодействия жидкой и газовой фаз при отсутствии роста монокристалла записываем следующим образом:

dQ + dQ_газ = 0, (3.5)

где dQ, dQ_газ – изменение количества легирующей примеси в жидкой и газовой фазах соответственно. Полагая, что за время dt изменение концентрации примеси в жидкой фазе составит dС, а начальный объем расплава V₀ не изменится, запишем уравнение материального баланса:

V₀dC + F(С – С_р)dt = 0, (3.6)

где  – линейный коэффициент испарения (коэффициент межфазного взаимодействия); F – площадь поверхности испарения; С и С_р – значения текущей (т. е. в момент времени t) и равновесной концентраций примеси в расплаве соответственно. Учитывая, что при t = 0, C = C₀, после разделения в уравнении (3.6) переменных и интегрирования получим его решение в следующем виде:

. (3.7)

Если процесс выращивания происходит в вакууме или в атмосфере инертного газа, то С_р = 0 и выражение (3.7) приводится к виду

. (3.8)

Выражение (3.8) показывает изменение концентрации примеси С₀ в исходной загрузке за время выдержки t расплава до начала кристаллизации, т. е. кристалл начинает расти из расплава, концентрация летучей примеси в котором в раз меньше, чем начальная концентрация С₀.

Таким образом, если легирующая или остаточная примеси являются летучими, то при расчете легирования для получения кристалла с заданным значением удельного сопротивления необходимо в уравнениях электронейтральности (3.4а) и (3.4б) учесть испарение примеси из расплава в соответствии с (3.7) или (3.8) на начальных этапах выращивания монокристалла.

Взаимосвязь между концентрацией примеси и удельным сопротивлением существенно усложняется, если примеси дают глубокие уровни, т. е. уровень Ферми располагается вблизи середины запрещенной зоны полупроводника, а концентрация электронов или дырок имеет значение, близкое к собственной концентрации носителей заряда. В таком случае при расчете легирования по значению удельного сопротивления определяют концентрацию носителей заряда, находят положение уровня Ферми и степень ионизации примесей и, решая уравнение электронейтральности, определяют полную концентрацию легирующей примеси.