3. Метод дисконтирования

Метод дисконтирования денежных поступлений есть исследование денежного потока от будущего к текущему моменту. Другими словами, метод дисконтирования является обратным к методу компаундинга и состоит в приведении будущих доходов к сегодняшнему моменту времени. Он позволяет определить, сколько денег нужно вложить сегодня, чтобы получить определенную сумму через несколько периодов. Формула для метода дисконтирования является обратной к формуле компаундинга:

(4) PV = - FV / (1 + r)ⁿ.

Величины D(r,n)=1/(1 + r)ⁿ называются коэффициентами дисконтирования. Ниже приведена таблица этих коэффициентов для различных r от 1% до 15% и n от 1 до 10.

КОЭФФИЦИЕНТЫ ДИСКОНТИРОВАНИЯ

Таблица 2.

Приведем пример использования метода дисконтирования для вычисления начальных инвестиций и построим соответствующий график в Mathcad. Пусть инвестор через несколько лет хочет получить капитал FV=25.907 млн. руб., при процентной ставке r=8%. График зависимости PV (без учета знака) от времени n (число периодов n меняется от 0 до 10) показывает, сколько ему следует инвестировать сегодня для получения указанной суммы через n периодов (лет).

ВЫЧИСЛЕНИЕ НАЧАЛЬНЫХ ИНВЕСТИЦИЙ

Также как и для вычисления сложных процентов начиная с версии Mathcad 2000 нет необходимости выписывать формулу для вычисления начальных вложений в явном виде. Среди набора финансовых функций имеется функция pv, действующая в соответствии со следующим синтаксисом

pv(rate, nper, pmt, [[fv], [type]]).

Устроена она совершенно аналогично с функцией fv, с той лишь разницей, что fv и pv меняются местами. Пример вычислений начальных инвестиций pv при заданной будущей возвращаемой сумме fv, процентной ставке за период rate и числу периодов nper приведен ниже. Там же построен график зависимости исходной суммы от срока вложений n, меняющегося от 1 до 10. Вычисления проведены с учетом знаков.

4. Стандартный аннуитет

До сих пор мы рассматривали простейший финансовые потоки вида {- PV, FV } или { PV, - FV } с однократными взносами и выплатами. Однако не менее распространенными являются схемы денежных потоков с многократными взносами и выплатами через равные промежутки времени. Поток платежей { -PV, PMT, PMT,…, PMT, FV }, все составляющие которого, кроме первого и последнего, имеют одинаковую величину и разделены равными промежутками времени, называется постоянной рентой. Формулу, приводящую все платежи к будущему, называют стандартным или будущим аннуитетом. Стандартный аннуитет основан на сложных процентах. Формула стандартного аннуитета имеет следующий вид:

5. FVA_n,r = PMT  AF_n,r = PMT  [(1 + r)ⁿ -1]/r.

Если учесть первоначальный взнос, то конечная возвращаемая сумма будет равной

(6) FV_n,r = -PV(1+r)ⁿ + FVA_n,r = -PV(1+r)ⁿ + PMT  [(1 + r)ⁿ -1]/r.

Величина FVA_n называется будущей стоимостью аннуитета. Величина PMT - разовый платеж в конце периода n. Коэффициенты AF_nr – будущая стоимость аннуитета в 1 рубль в конце каждого периода n при процентной ставке r.

Происхождение формулы легко понять, если сложить коэффициенты сложных процентов, начиная от 0 до n-1 включительно. Действительно, сумма коэффициентов сложных процентов за n периодов равна следующей геометрической прогрессии:

Приведем таблицу коэффициентов стандартного (будущего) аннуитета для n от 1 до 6 и r от 5% до 15%.

К ОЭФФИЦИЕНТЫ БУДУЩЕГО АННУИТЕТА

Таблица 3.

Приведем пример вычисления по формулам будущего аннуитета. Первоначальный взнос составляет 300 денежных единиц, а затем 4 периода подряд вносится по 100. Процентная ставка – 8%. Накопленная сумма составит 858.758.

Вычислим величину будущих накоплений с помощью финансовой функции fv программы Mathcad для счета постнумерандо (взнос в конце периода, пятый аргумент type функции fv равен 0 или опущен) и для счета пренумерандо (взнос в начале периода, пятый аргумент функции fv равен 1). Построим также графики роста накопленной суммы как функции количества периодов n для обоих случаев, а также график роста чистого будущего аннуитета FVA (нулевой начальный взнос PV=0).