1. Простые проценты

Рассмотрим схему предоставления некоторой суммы денег P в кредит на время t. За использование кредита надо платить, поэтому возвращаемая сумма составит величину S = P + I. Плату за кредит I часто называют «процентом» (interest). Чем больше время, на которое выдается кредит, тем больше процент. В простейшем случае плата за кредит I = Prt, где r – плата за кредит в единицу времени. Время t измеряется в днях, месяцах, кварталах, годах. Процентная ставка r (rate of interest) измеряется в процентах, разделенных на единицу времени, например, в проц./год.

Таким образом, величина наращиваемой суммы определяется по формуле

(1) S = P(1 + rt).

Если t = 1 год, то S = P(1 + r). Отношение S/P называется коэффициентом наращения.

Вычисления для простых процентов по приведенной формуле производятся следующим образом. Заданы сумма кредита P, ставка процента r и срок t, на который предоставляется кредит. Прежде всего надо проследить и при необходимости скорректировать размерности данных. Если, например, задана годовая процентная ставка r, а срок кредита исчисляется в днях, то срок кредита нужно выразить в долях года: t = n/N, где N – число дней в году, или временная база. Рассмотрим конкретный пример.

ЗАДАЧА 1. Выдан кредит в размере P = 1 млн. рублей при годовой процентной ставке r = 20%. Какую сумму S потребуется вернуть, если кредит выдан на 3 месяца, 6 месяцев, 1 год, 2 года, …, 5 лет под простой процент.

Решение. Годовая процентная ставка равна r = 20% = 0.2. Сроки кредита выразим в долях года t = 3/12 = 0.25 года, 6/12 = 0.5 года, 1, 2, 3, 4 года, 5 лет. Вычисляя формуле (1), получаем для трехмесячного кредита, выданного под простой процент, сумма S = 1х(1 + 0.2х0.25) = 1.05 млн. руб. Для шестимесячного кредита возвращаемая сумма составит 1.1 млн. руб. Для кредитов, предоставленных на 1 год, 2 года, …, 5 лет возвращаемые суммы составят 1.2, 1.4, 1.6, 1.8 и 2 млн. руб.

Хотя приведенная задача элементарно решается «вручную», приведем ее решение в Mathcad. На рабочем листа зададим сначала сумму кредита P, процентную ставку r , формулу (1) в виде функции S(t) и сроки кредита t в долях года. Для демонстрации разнообразия способов выдачи результатов вычислим сначала возвращаемые суммы для трехмесячного и шестимесячного кредитов по отдельности. Затем зададим сроки кредита в виде ранговой переменной t := 0..5 выведем вычисленные результаты в виде двух табличек t = и S(t) = . Кроме того, построим график зависимости возвращаемой суммы от срока кредита. Для этого введем на рабочий лист шаблон двумерного декартового графика (меню View – Toolbars – палитра Graph).

Затем в шаблоне графика назначим ось абсцисс как ось переменной t, а ось ординат – ось функции S(t). Отредактируем график (масштаб, оси, координатная сетка и т.п.). Получим следующие результаты.

В международных стандарте, а также в Mathcad принята несколько иная форма записи финансовых формул, в том числе формулы (1). Вместо P используется PV (Present Value) – настоящая величина, текущая величина капитала, а вместо пишут FV (Future Value) – будущая величина капитала. Кроме того, сумма инвестиций (кредита) и возвращаемая сумма, как правило, записываются с разными знаками: знак минус соответствует случаю, когда Вы (или рассматриваемое лицо) даете деньги, а знак плюс, когда Вы их получаете. В соответствии с этим стандартом формула (1) примет вид

(1) FV + PV(1 + rt) = 0 или FV = - PV(1 + rt).