- •Раздел. Математический анализ
- •Тема 1. Множества и функции в.1. Понятие множества
- •В.2. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки
- •В.3. Определение функции
- •В.5. Элементарные функции
- •В.6. Интерполирование функций
- •В. 7. Преобразование графиков
- •Тема 2. Пределы и непрерывность в.1. Предел числовой последовательности
- •В.2. Предел функции
- •В. 3. Бесконечно малые величины
- •В. 4. Бесконечно большие величины
- •В. 5. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела
- •В. 6. Замечательные пределы
- •В.7. Непрерывность функции
- •В.8. Вычисление пределов
- •Тема 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной в.1. Задачи, приводящие к производной. Задача о касательной:
- •В.2. Определение производной функции
- •В.3. Основные правила дифференцирования
- •В.4. Производная сложной и обратной функций
- •В. 5. Производные основных элементарных функций
- •В.6. Производные высших порядков
- •В.7. Приложения производной
- •7.1. Правило Лопиталя
- •7.2. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции
- •7.3. Исследование функции на выпуклость и точки перегиба
- •7.4. Асимптоты графика функции
- •9.4. Общая схема исследования функций и построения их графиков
- •В.8. Дифференциал функции
- •8.1. Определение дифференциала
- •8.2. Применение дифференциала в приближённых вычислениях
- •8.3. Дифференциалы высших порядков
- •Тема 4. Неопределенный интеграл (ни) в.1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •В.3. Таблица ни
- •В.4. Методы интегрирования
- •4.1. Метод разложения
- •4.2. Метод замены переменной
- •4.3. Метод интегрирования по частям
- •В.5. Интегрирование отдельных классов функций
- •5.1. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •5.2. Интегрирование иррациональных функций
- •5.3. Интегрирование тригонометрических функций
- •Тема 5. Определённый интеграл в.1. Формула Ньютона-Лейбница.
- •В.2. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
В.8. Вычисление пределов
При вычислении пределов используют то, что предел постоянной равен самой постоянной, а также основные теоремы о пределах. Рассмотрим вычисление пределов на примерах.
Пример 7. Найти .
Решение. Так как под знаком предела стоит непрерывная в точке х=1 функция, то, используя определение непрерывной функции, имеем: .
Ответ. .
Пример 8. Найти .
Решение. Функция при х=1 не определена («неопределенность типа »), и, следовательно, не является непрерывной в этой точке. Но при всех других значениях х
.
Полученная функция определена и непрерывна в точке х=1, поэтому
==. Ответ: .
Пример 9. Найти
Решение. Здесь требуется найти предел отношения двух бесконечно больших величин. О таком пределе заранее ничего определенного сказать нельзя («неопределенность типа »). Преобразуем функцию под знаком предела, вынося за скобки х в старшей степени, и используем свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин. Тогда имеем:
==== 0.
Ответ: 0.
Пример 10. Найти .
Решение. Такого типа примеры решаются переводом иррациональности из числителя в знаменатель и, наоборот, из знаменателя в числитель. Здесь мы имеем предел разности двух положительных бесконечно больших величин («неопределенность типа [–]»). От этой неопределенности избавимся, дополнив функцию до разности квадратов:
= = = .
Следовательно, =
Ответ: 0.
Пример 11. Найти .
Решение. Выделим у дроби целую часть:
.
Чтобы использовать второй замечательный предел (или ), обозначим . Тогда при х→∞ у→0, причем . Т.о. =.
Ответ: .
Тема 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной в.1. Задачи, приводящие к производной. Задача о касательной:
Пусть на плоскости ОХY дана непрерывная кривая у=f(х) и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в т. М(х, у).
Дадим аргументу х приращение и перейдем по кривой у=f(х) от т. М(х,у) к т. М(х+,f(х+). Проведем секущую М.
Под касательной к кривой у=f(х) в т. М понимают предел положительной секущей М при приближении т. М к М, т. е. при .
Уравнение прямой, проходящей через точку М, имеет вид: у – f(х)=k(х– х0 ). k-угловой коэффициент может быть найден из : k= tg =. Отсюда – угловой коэффициент касательной.
Задача о скорости движения:
Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону , где s – пройденный путь, t – время. Надо найти скорость точки в момент t0.
К моменту пройденный путь составит, а к моменту : . Тогда за время средняя скорость . Чем меньше , тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент t0. Поэтому под скоростью в момент t0 естественно понимать предел средней скорости за промежуток от t0 до, когда : .
В.2. Определение производной функции
Пусть функция y = ƒ(x) определена на множестве Х. Возьмём т.хХ. Дадим значению х приращение . Тогда y подучит приращение .
Определение. Производной функции y = ƒ(x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):
.
Другие обозначения:
Дифференцирование функции – это нахождение производной этой функции. Если функция имеет в точке x производную (конечную), то она называется дифференцируемой в этой точке. То же можно сказать о дифференцировании функции на промежутке X.
Геометрический смысл производной: производная – угловой коэффициент или тангенс угла наклона касательной, проведенной к кривой y= f(x) в точке x0 , с осью Ох.
Уравнение касательной к кривой y= f(x) в точке x0: .
Механический смысл: производная пути по времени - есть скорость точки в момент t0 , т.е. .
Теорема (зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью): Если функция y= f(x) дифференцируема в точке x0, то она в этой точке непрерывна.
Обратная теорема, вообще говоря, не верна, т.е. непрерывная функция может быть не дифференцируемой в точке x0 , например, функция y =|x| в точке x=0.
Поэтому непрерывность функции является необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции. В математике известны непрерывные функции, не дифференцируемые ни в одной точке.
Замечание. Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на промежутке X , то функция называется гладкой на этом промежутке. Если производная допускает конечное число точек разрыва 1-го рода, то она называется кусочно-гладкой на данном промежутке.