Раздел. Математический анализ
Тема 1. Множества и функции в.1. Понятие множества
Множество – совокупность (собрание, набор) некоторых объектов.
Объекты, образующие множества, называются элементами (точками) данного множества.
Множества
обозначаются прописными буквами
латинского алфавита: А,
В,
С…,
а элементы – строчными а,
b,
c…
Принадлежность элемента а
множеству А
записывается следующим образом:
.
Запись
означает, что элемент b
не
принадлежит множеству А.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø. (например, множество действительных корней уравнения х2+4=0 – пустое множество).
Если
множество В
состоит из
части элементов множества А
или совпадает с ним, то В
называется подмножеством
множества А
(обозначается
).
Равные множества состоят из одних и тех же элементов.
Объединением
множеств
А
и В
называется множество, состоящее из
всех элементов, принадлежащих хотя
бы одному из данных множеств ( |
|
|
Пересечением
множеств А
и В называется множество, состоящее
из элементов, одновременно принадлежащих
каждому из данных множеств (
|
|
|
Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов А, которые не принадлежат В (А \ B). |
А |
|
Дополнением
множества
А,
являющегося подмножеством В
( |
|
|
).
).
\ B
),
называется множество АС,
состоящее из всех элементов В,
которые не принадлежат А.
АСПример 1. а) Пусть даны два множества: А = {1, 2, 3, 4} и В = {2, 4, 5, 6}. Тогда их объединением будет множество = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; пересечением – = {2, 4}; разностью А \ B = {1, 3}, В \ А = {5, 6}.
б) Даны множества А = {1, 2, 3} и В = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Очевидно, что А является подмножеством В ( ). Тогда:
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} = В; = {1, 2, 3} = А; В \ А = {4, 5, 6}; АС = {4, 5, 6}.
Множества,
элементами которых являются действительные
числа, называются числовыми.
Например, числовыми являются множество
натуральных чисел N,
множество целых чисел Z,
множество рациональных чисел Q,
иррациональных I
и множество действительных чисел R,
которые связаны между собой следующим
образом:
,
,
R
= Q
I.
Каждому действительному числу соответствует точка на числовой прямой, и наоборот, каждой точке числовой прямой соответствует действительное число.
Множество Х, элементы которого удовлетворяют неравенству a ≤ x ≤ b, называется отрезком [a; b]. Если элементы множества удовлетворяют неравенству a < x < b, то оно называется интервалом (а; b). Если же неравенствам a < x ≤ b, или a ≤ x < b , то – полуинтервалом (a; b], [a; b). Все указанные множества могут быть объединены одним термином – промежуток Х.
В.2. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки
Абсолютной величиной (модулем) действительного числа х называется само число х, если х ≥ 0, и противоположное число –х, если х < 0, т.е.
|x|
=
Свойства абсолютных величин: 1) |x + y| ≤ |x| + |y|; 2) |x – y| ≥ |x| – |y|;
3)
|x∙y|
≤ |x|∙|y|; 4)
.
Абсолютная величина разности двух чисел |x – а| означает расстояние между точками х и а числовой прямой (и для x < a, и для х > а). |
|x – а| х а х |
Поэтому, например, решениями неравенства |x – а|< ε (ε>0) будут точки интервала (а – ε; а + ε), удовлетворяющие неравенству а – ε < x < а + ε. |
|x – а|< ε
а – ε а а + ε х |
. .
∙ ∙ ∙Любой интервал, содержащий точку а, называется окрестностью точки а.
Интервал (а – ε; а + ε) (т.е. множество точек х, удовлетворяющих неравенству
|x – а|< ε (ε>0)) называется ε – окрестностью точки а.