- •Раздел. Математический анализ
- •Тема 1. Множества и функции в.1. Понятие множества
- •В.2. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки
- •В.3. Определение функции
- •В.5. Элементарные функции
- •В.6. Интерполирование функций
- •В. 7. Преобразование графиков
- •Тема 2. Пределы и непрерывность в.1. Предел числовой последовательности
- •В.2. Предел функции
- •В. 3. Бесконечно малые величины
- •В. 4. Бесконечно большие величины
- •В. 5. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела
- •В. 6. Замечательные пределы
- •В.7. Непрерывность функции
- •В.8. Вычисление пределов
- •Тема 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной в.1. Задачи, приводящие к производной. Задача о касательной:
- •В.2. Определение производной функции
- •В.3. Основные правила дифференцирования
- •В.4. Производная сложной и обратной функций
- •В. 5. Производные основных элементарных функций
- •В.6. Производные высших порядков
- •В.7. Приложения производной
- •7.1. Правило Лопиталя
- •7.2. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции
- •7.3. Исследование функции на выпуклость и точки перегиба
- •7.4. Асимптоты графика функции
- •9.4. Общая схема исследования функций и построения их графиков
- •В.8. Дифференциал функции
- •8.1. Определение дифференциала
- •8.2. Применение дифференциала в приближённых вычислениях
- •8.3. Дифференциалы высших порядков
- •Тема 4. Неопределенный интеграл (ни) в.1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •В.3. Таблица ни
- •В.4. Методы интегрирования
- •4.1. Метод разложения
- •4.2. Метод замены переменной
- •4.3. Метод интегрирования по частям
- •В.5. Интегрирование отдельных классов функций
- •5.1. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •5.2. Интегрирование иррациональных функций
- •5.3. Интегрирование тригонометрических функций
- •Тема 5. Определённый интеграл в.1. Формула Ньютона-Лейбница.
- •В.2. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
В.8. Дифференциал функции
8.1. Определение дифференциала
Пусть функция y = f(x) определена на промежутке Х и дифференцируема в некоторой окрестности точки х Х. Тогда существует конечная производная
На основании теоремы о связи бесконечно малых величин (БМВ) с пределами функций можно записать , где – БМВ при x0.
Откуда .
Т.о. приращение функции y состоит из 2 слагаемых: 1) линейного относительно x; 2) нелинейного (которое является БМВ более высокого порядка малости, чем x)
Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно x часть приращения функции, равная произведению производной данной функции на приращение независимой переменной
(1)
Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dx = x
(т.к. для функции у=х дифференциал будет равен: ).
Поэтому формулу (1) можно записать в виде (2)
=> (т.е. производная функции есть отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной).
Пример 9. Найти дифференциал функции у = 6х2 – 3.
Решение. Вычислим производную данной функции у = 12х и подставим в формулу (2): .
Геометрический смысл дифференциала: Дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда х получает приращение x.
На рисунке dy = KN, y = M1N.
dy < y dy > y
Свойства дифференциала (1-5 аналогичны свойствам производной):
1. dС = 0.
2. d(Сu) = Сdu.
3. d(u v) =du dv.
4. d(uv) = vdu + udv.
5. .
6. Свойство инвариантности (т.е. неизменности) формы (формулы) дифференциала. Рассмотрим сложную функцию .
Тогда ,
т.е. формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой переменной х рассматривать функцию от зависимой переменной и.
8.2. Применение дифференциала в приближённых вычислениях
Из изложенного выше следует, что . Поэтому при достаточно малых значениях x у dy или . Откуда
(3)
Пример 10. Вычислить приближенно, используя дифференциал функции, tg460.
Решение. Для приближенных вычислений воспользуемся формулой (3).
Положим f(x) = tgx. Найдем производную f’(x) = (tgx)’ = . Тогда . Учитывая, что tg460 = tg(450 + 10) = tg , возьмем х = и Δх = .
Тогда tg460 = tg .
Пример 11. Вычислить приближенно ,
Решение . Приближенная формула для вычисления корней n -й степени :
, поэтому
Возьмем x =16; x =0,64 ;
8.3. Дифференциалы высших порядков
Для дифференцируемой функции y = f(x) . Если дифференциал независимой переменной имеет произвольное, но фиксированное значение, не зависящее от х, то - некоторая функция от х, которая также может иметь дифференциал.
Дифференциалом n – го порядка (n – ым дифференциалом) называется дифференциал от дифференциала (n–1)–го порядка данной функции:
Дифференциал n – го порядка равен произведению производной n – го порядка на n – ю степень дифференциала независимой переменной.
. (где )
=> . В отличие от дифференциала первого порядка дифференциалы более высоких порядков не обладают свойством инвариантности формы.