Матем_лекции_ 1сем_гр.,2621,2721

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Лекции по МАТЕМАТИКЕ (составитель Е.А. Парышева) Раздел 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Тема 1. Матрицы и определители В.1. Основные сведения о матрицах

Значительную часть математических моделей в экономике можно записать в компактной матричной форме.

Опр. Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов .

Сами числа называются элементами матрицы.

Обозначаются матрицы прописными буквами латинского алфавита: А,В,С,… ,

элементы –соответствующими строчными буквами с индексами- aij , bij ,…, где i- номер строки, j-номер столбца:

Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковую размерность (т.е. одинаковое количество строк и количество столбцов) и одинаковые соответствующие элементы:

Рассмотрим частные виды матриц:

-матрица-строка состоит из одной строки, т.е. имеет размерность 1 n ;

-матрица-столбец состоит из одного столбца, т.е. имеет размерность m 1;

-квадратная матрица n-го порядка имеет одинаковое количество строк и столбцов, т.е. размерность n n ;

-диагональная матрицаэто квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие

вне главной диагонали, равны нулю, а диагональные элементы не равны нулю, т.е. aii 0, aij =0 ,

-единичная матрица n-го порядка - частный случай диагональной, в которой все диагональные элементы равны единице; обычно единичная матрица обозначается Е или I;

-треугольная (ступенчатая) матрица – это квадратная (прямоугольная) матрица, в которой все элементы выше или ниже главной диагонали равны нулю.

-нулевая матрица (нуль-матрица) – это матрица, у которой все элементы равны нулю; такая матрица может быть любого размера обозначается О.

В.2. Операции над матрицами

1.Умножение матрицы на число. Произведение матрицы А и число равно матрице

Решение: Для того, чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число:

1

Решение. Складывать можно только матрицы одинакового размера, а т.к. размеры матрицы А – (3 2) и В – (3 2) (где 3 – число строк, 2 – число столбцов) совпадают, то для того, чтобы сложить две матрицы, надо к каждому элементу первой матрицы прибавить соответствующие элементы второй матрицы:

3.Вычитание матриц: Определяется через предыдущие операции: А-В=А+(-1)В.

4.Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Сm n = A m k∙B k n

Совпадают

Размерность результирующей матрицы

Тогда произведением матриц Am k Bk n называется такая матрица Cm n , каждый элемент

2

1)А+В= В+А – коммутативный (

2)(А+В)+С= А+(В+С) – ассоциативный закон сложения

3)(А+В)= A B - дистрибутивность относительно числового множителя

4)А(В+С)=АВ+АС – дистрибутивный закон.

5)(А+В)С=АС+ВС– дистрибутивный закон.

6)(AB) ( A)B A( B) – ассоциативный закон

7)А(BC)=(AB)C– ассоциативный закон умножения

Эти свойства аналогичны свойствам операций над числами. Однако некоторые свойства отличаются:

-если произведение АВ существует, то ВА может не существовать, (например, матрица

A2 3 и B3 3 );

-если даже АВ и ВА существуют, то они могут быть матрицами разных размеров;

5.Возведение в степень. Операция определена только для квадратных матриц:

6.Транспонирование матрицы. Это переход от матрицы А к матрице АТ ( A' ), в

В.3. Определители квадратных матриц (детерминанты)

Определитель – это число, характеризующее квадратную матрицу А (обозначается A или ).

3

Пусть дана квадратная матрица 3-го порядка. Определитель 3-го порядка вычисляется по следующей схеме:

A 3 a11a22 a33 a12 a23 a31 a21a32 a13 a31a22 a13 a21a12 a33 a11a32 a23

Другими словами, берутся следующие произведения:

Этот способ – правило треугольников.

Другой способ вычисления определителя 3-го порядка задается правилом Саррюса. Здесь к трем столбцам определителя дописываются первые два столбца, а в полученной конструкции произведения элементов берутся по диагоналям, наклон которых определяет знак того или иного произведения:

2 1 3

Пример 4. Вычислить определитель 3-го порядка: 5 4 0 .

1 2 3

Решение. Метод Саррюса.

Сначала к исходному определителю справа приписываем первый и второй столбцы: 2 1 3 2 1

5 4 0 5 4

1 2 3 1 2

Тогда определитель равен сумме произведений элементов, стоящих на главной диагонали и диагоналях, параллельных ей, взятых со своими знаками, и произведению элементов побочной диагонали и параллельных ей диагоналей, взятых с противоположными знаками.

2 1 3 2 1 5 4 0 5 4 = 2∙4∙3 + 1∙0∙1 + 3∙5∙2 – 3∙4∙1 – 2∙0∙2 – 1∙5∙3 = 27.

1 2 3 1 2

– – – + + +

Ответ: 27.

Введем понятие определителя более высокого порядка. Рассмотрим квадратную матрицу n-

4

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Общее число ее элементов равно n2 .

Минором M ij элемента aij квадратной матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы n-го порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Решение. Метод разложения по элементам строки или столбца.

С помощью метода разложения по элементам строки (столбца) можно вычислить определители любого порядка. Строку (столбец), по элементам которого производится разложение, следует выбирать так, чтобы в ней содержалось наибольшее количество нулей.

Разложим определитель по элементам какой-либо строки или столбца. Например, выберем для разложения третий столбец:

Здесь А13, А23, А33 – алгебраические дополнения элементов матрицы а13, а23, а33

соответственно, которые в общем случае для элемента аij находятся по формуле

Аij = (-1)i+j∙Mij. (2)

Минор Мij - определитель, получаемый из исходного вычеркиванием i–й строки и j–го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Например, для нахождения М13 вычеркивается 1-я строка и 3-йстолбец:

Аналогично определяем М23, вычеркивая 2-ю строку и 3-й столбец.

Тогда алгебраические дополнения (по формуле (2)) будут равны:

А13 = (-1)1+3∙M13= (-1)4∙6 = 6, А33 = (-1)3+3∙M33=(-1)6∙3= 3.

Подставляя найденные значения в (1), найдем определитель

Ответ: 27.

5

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Определитель диагональной (треугольной) матрицы равен произведению элементов

В.4. Свойства определителей

1.Если какая-либо строка (или столбец) матрицы состоит из одних нулей , то ее определитель равен нулю.

2.Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то

ееопределитель умножится на это число .

Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель любой строки или столбца, в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель лишь всех ее элементов.

3.При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: AТ A .

4.При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

5.Если квадратная матрица содержит 2 одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен нулю.

6.Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю.

7.Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на

8.Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и тоже число.

9.Сумма произведений произвольных чисел b1 ,b2 ,...,bn на алгебраические дополнения

элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа b1 ,b2 ,...,bn .

10.Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их

определителей:C A B, где С= A B , А и В – матрицы n-го порядка. Даже если АВ ВА, и в этом случае AB BA .

Перечисленные свойства упрощают вычисления определителей.

В.5. Обратная матрица

Матрица A 1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении матрицы A 1 на А как слева, так и справа получается единичная матрица:

A 1 A AA 1 E

Только квадратная матрица может иметь обратную, и обратная матрица имеет тот же размер, что и исходная.

Для существования обратной матрицы необходимо, чтобы A 0 . В этом случае матрица А будет невырожденной (неособенной). В противном случае A 0 матрица А называется

вырожденной (особенной).

6

существует.

b) Найти транспонированную матрицу АТ.

с) Найти алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы и

е) Проверить правильность нахождения обратной матрицы А-1: по определению, при умножении А-1 на исходную матрицу А, должна получиться единичная матрица Е: А-1∙А = Е.

Решение. а) сначала вычислим определитель исходной матрицы

Так как определитель матрицы А не равен 0, то для нее существует обратная матрица А-1. b) Найдем транспонированную матрицу АТ, которая получается из исходной заменой

элементов строк элементами столбцов с сохранением порядка:

е) Проверим правильность нахождения обратной матрицы А-1:

7

В.6. Ранг матрицы

В матрице Am n вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно получить различные квадратные подматрицы порядка k min(m; n) . Определители таких подматриц называются

минорами k -го порядка матрицы А. Например, из матрицы A3 4 можно получить миноры 1, 2 и 3

порядков.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначается ранг r(A), rang(A) или rank(A) . При этом очевидно, что r(A) min( m, n); кроме того, r(A) 0 тогда и только тогда, когда матрица А нулевая ( нуль-матрица).

Следующие преобразования матрицы называются элементарными. :

1)Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2)Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.

3)Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4)Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5)Транспонирование матрицы.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях.

С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду:

Условие r k можно достигнуть транспонированием.

Решение. Произведем элементарные преобразования со строками матрицы, приведя ее к треугольному (ступенчатому) виду, т.е. к матрице, в которой все элементы, ниже главной диагонали равны нулю (при этом диагональные элементы не равны нулю).

Шаг 1. Если в матрице элемент а11 = 0, то перестановкой строк нужно добиться того, чтобы элемент а11≠ 0. В нашем примере а11≠ 0.

Сначала обнулим элементы первого столбца ниже главной диагонали. Для этого

прибавим соответственно к элементам второй и третьей строк:

8

Шаг 2. Если в полученной матрице а22 ≠ 0, то обнулим элемент второго столбца ниже

Для рангов матриц справедливы соотношения:

0e1 0e2 0e3 0 .

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк и столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

9

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

ТЕМА 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В.1. Основные понятия и определения

Система m линейных уравнений с n переменными (неизвестными) имеет вид: